[論文レビュー] Plane wave stability of the split-step Fourier method for the nonlinear Schr\\"odinger equation

Erwan Faou, Ludwig J. Gauckler+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Nonlinear Photonic Systems参考文献 29被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、非線形シュレーディンガー方程式に対する分割ステップフーリエ法の長時間軌道安定性を、CFL 条件のもとで確立する。数値解が平面波解の軌道安定性を長時間にわたり保つことを証明する。解析では、ハミルトニアン還元、変調フーリエ展開、非共鳴条件を組み合わせ、系の周波数に完全な共鳴が存在するにもかかわらず安定性を検証する。

ABSTRACT

Plane wave solutions to the cubic nonlinear Schr\\"odinger equation on a torus have recently been shown to behave orbitally stable. Under generic perturbations of the initial data that are small in a high-order Sobolev norm, plane waves are stable over long times that extend to arbitrary negative powers of the smallness parameter. The present paper studies the question as to whether numerical discretizations by the split-step Fourier method inherit such a generic long-time stability property. This can indeed be shown under a condition of linear stability and a non-resonance condition. They can both be verified if the time step-size is restricted by a CFL condition in the case of a constant plane wave. The proof first uses a Hamiltonian reduction and transformation and then modulated Fourier expansions in time. It provides detailed insight into the structure of the numerical solution.

研究の動機と目的

• 分割ステップフーリエ法が、非線形シュレーディンガー方程式における平面波解の長時間軌道安定性を、どのように継承するかを特定すること。
• 従来の線形安定性解析を、完全な共鳴が存在する状況における長時間挙動にまで拡張すること。
• 摂動サイズの任意の負のべき乗にわたる時間において、数値解が平面波の軌道に近いかつて保たれる条件を確立すること。
• 定数平面波の場合に、時間ステップサイズに対するCFL 条件のもとで、安定性の性質が成り立つことを検証すること。

提案手法

• 主なフーリエモードを除去するためのハミルトニアン還元と変換を適用し、初期データが小さい系に還元する。
• 時間における変調フーリエ展開を用いて、変換後の系の長時間挙動を分析する。
• 変換後に生じる修正周波数に対する非共鳴条件を検証し、長時間安定性に不可欠である。
• 時間ステップサイズにCFL 条件を適用し、線形安定性を保証するとともに、定数平面波の場合の非共鳴条件を満たす。
• 非共鳴条件が成り立つパラメータ集合のルベーグ測度を分析し、摂動が小さい場合にその測度が大きいことを示す。
• 周波数差と摂動項の推定を用いて、長時間にわたる数値誤差の増大を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割ステップフーリエ法は、非線形シュレーディンガー方程式における平面波解の長時間軌道安定性を保つのか？
• RQ2 高階ソボレフノルムで小さいが、一般の摂動が加わった場合に、数値的手法は安定性を維持できるか？
• RQ3 完全な共鳴が存在する状況において、時間ステップサイズおよび初期データにどのような条件下で、この手法は長時間安定性を示すのか？
• RQ4 変換後の系における修正周波数は、安定性に必要な非共鳴条件をどのように満たすのか？
• RQ5 数値解が長時間にわたり安定であるパラメータ集合 (h, ρ) の測度はいかほどか？

主な発見

• 定数平面波の場合に、時間ステップサイズに対するCFL 条件のもとで、分割ステップフーリエ法は平面波解の長時間軌道安定性を継承する。
• 修正周波数に対する非共鳴条件は、ルベーグ測度が大きなパラメータ集合で満たされ、ほとんどの h と ρ の選択に対して安定性が保証される。
• 証明により、摂動サイズの任意の負のべき乗にわたる時間において、数値解が平面波の軌道に近いかつて保たれることを示した。
• 定数平面波（ℓ=0）の場合、主な安定性結果の仮定はCFL 条件のもとで成り立ち、非共鳴条件は周波数推定と変調フーリエ解析により検証された。
• 初期摂動が高階ソボレフノルムに属する場合でも、この手法の安定性は頑健であり、従来の結果よりも広い初期データのクラスをカバーする。
• 安定パラメータ集合の測度は |P(γ)| ≥ ρ₀h₀ - Ch₀γ¹/(²√α(N+2)) を満たし、安定性がパラメータ選択の大部分で成立することを示している。