[論文レビュー] Playing Tennis without Envy

Josué Ortega|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、利用可能日が異なるプレイヤー間でダブルステニスの試合を割り当てるアルゴリズムの公平性と効率性を調査し、プレイヤーの利用可能日が異なる場合、同時に効率的かつ強い羨望フリー（strongly envy-free）な割り当てが可能でないことを示している。任意の1試合にq ≥ 2名のプレイヤーを必要とするスポーツについて、効率性と強い羨望フリー性の両方を満たす解が存在しない問題例が存在することを証明し、一般的に使われる割り当てヒューリスティクスの公平性に疑問を呈している。

ABSTRACT

A group of friends organize their tennis games by submitting each their availability over the weekdays. They want to obtain an assignment such that: each game must be a double tennis match, i.e. requires four people, and nobody plays in a day he is unavailable. Can we construct assignments that will always produce efficient, fair, and envy-free outcomes? The answer is no, and extends to any sport that requires any group size.

研究の動機と目的

• プレイヤーが異なる利用可能スケジュールを持つ場合に、効率的かつ公平なテニス試合割り当てを構築できるかどうかを分析すること。
• グループスポーツスケジューリングの文脈において、強い羨望フリー性を定義・形式化すること。ここで「強い羨望フリー性」とは、より柔軟な利用可能日を持つプレイヤーが、より制限の厳しいプレイヤーよりも少なく試合に参加してはならないという意味である。
• 割り当てが効率的（総試合数を最大化）かつ公平（ゲーム数のleximin最適化）であると同時に、より柔軟なプレイヤーによる羨望を回避できるかどうかを調査すること。
• テニスに限らず、任意のq人1試合のスポーツ（q ≥ 2）へと不可能性の結果を一般化すること。
• 一般的に使われるヒューリスティクスアルゴリズム（例：1プレイヤーあたりの試合数を最大化するもの）が、真に公平な結果を生み出すという仮定に疑問を呈すること。

提案手法

• テニススケジューリング問題を、プレイヤーiが日付kに利用可能である場合a_ik = 1となるバイナリ行列Aとして形式化する。
• 1日あたり4名未満の利用可能プレイヤーがいる日付と、全日付で利用可能日が0日のプレイヤーを削除することで、問題を非可約形に還元する。
• 解をバイナリ行列Xとして定義し、以下の制約を満たすものとする：(1) a_ik = 0 の場合、x_ik = 0（利用可能制約）、(2) 1日あたりのx_ikの和が4の倍数（グループサイズ制約）。
• 解の3つの性質を導入する：効率性（パレート最適性）、公平性（ゲーム数のleximin最適性）、強い羨望フリー性（より利用可能日が多いプレイヤーが、少ないプレイヤーより少なく試合に参加してはならない）。
• 11名のプレイヤーと5日間の設定で反例を構築する。ここで、4名の非常に利用可能（a–d）なプレイヤーは各2日間利用可能で、2試合ずつプレーする必要がある。一方、7名の利用可能日が少ない（e–k）プレイヤーは3日間で合計5試合を分け合う必要があり、少なくとも1名は利用可能日が3日でも1試合しかプレーできない。
• 背理法により、このような構成では、少なくとも1名の利用可能日が少ないプレイヤーが、利用可能日が少ないにもかかわらず2試合プレーするプレイヤーを羨むことになり、強い羜望フリー性が破られることが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 利用可能日が異なるプレイヤーがいるダブルステニススケジューリング問題において、効率的かつ強い羜望フリーな割り当てが可能か？
• RQ2 より柔軟な利用可能日を持つプレイヤーが、より制限の厳しいプレイヤーよりも不利にならないように保証しつつ、総試合数を最大化するスケジューリングアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ3 強い羜望フリー性の不可能性は、テニスに限らず、固定グループサイズ（q ≥ 2）を要する他のスポーツに対しても拡張可能か？
• RQ4 実世界のスケジューリング状況において、一般的なヒューリスティクス（例：1プレイヤーあたりの試合数を最大化）と、leximin最適性のような公平性基準との間には、どのような違いがあるか？
• RQ5 グループスケジューリング問題において、効率性と強い羜望フリー性の両立が不可能である構造的制約は何か？

主な発見

• 効率的かつ強い羜望フリーな解をもたないテニススケジューリング問題が存在し、効率性と強い公平性の間には根本的な不適合性が存在することが示された。
• 表2に示された反例において、2日間利用可能な4名のプレイヤーが各2試合プレーする必要がある一方、3日間利用可能な7名のプレイヤーは3日間で合計5試合を分け合う必要があり、少なくとも1名は利用可能日が3日でも1試合しかプレーできない。
• 利用可能日が3日あるにもかかわらず1試合しかプレーしないプレイヤーは、利用可能日が2日しかなく2試合プレーするプレイヤーを羨んでおり、強い羜望フリー性が破られている。
• この不可能性の結果は、任意のq人1試合のスポーツ（q ≥ 2）に一般化可能であり、すべてのケースで、効率的かつ強い羜望フリーな割り当てが存在しないことを意味する。
• マーラー（2016）が提唱したアルゴリズムでさえ、実際には効率的かつ公平な結果を生み出すが、強い羜望フリー性を保証しない。例えば、ジョージ・スタシー・カーマイケル（George StC）は4日間利用可能であったにもかかわらず1試合しかプレーしなかった。
• 本研究は、プレイヤーが自身の利用可能日を虚偽報告することでより多くの試合を獲得する合理的なインcentiveを持つ可能性があることを示し、システムの公平性に対する信頼を損なう要因となっている。