[論文レビュー] Pleijel's theorem for Schrödinger operators with radial potentials

Philippe Charron, Bernard Helffer+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$ℝ^d$ 内の回転対称ポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素へプレイジェルの定理を拡張し、ノード領域数と固有値インデックスの比の上极限が、$+\infty$ や $0$ に発散するかどうかにかかわらず、プレイジェル定数 $γ(d)$ で上から抑えられることを証明している。この結果は、ウェイの漸近公式と回転対称設定に適応されたファーベル＝クラウーン型不等式に依拠している。

ABSTRACT

In 1956 $Å$. Pleijel gave his celebrated theorem showing that the inequality in Courant's theorem on the number of nodal domains is strict for large eigenvalues of the Laplacian. This was a consequence of a stronger result giving an asymptotic upper bound for the number of nodal domains of the eigenfunctions as the eigenvalues tend to $+\infty$. A similar question occurs naturally for Schr"\odinger operators. The first significant result has been obtained recently by the first author for the harmonic oscillator. The purpose of this paper is to consider more general potentials which are radial. We will analyze the case when the potential tends to $+\infty$ and the case when the potential is negative and tends to zero, where the considered eigenfucntion are associated to the eigenvalues below the essential spectrum.

研究の動機と目的

• 有界領域におけるディリクレラプラシアンに対するプレイジェルの定理を、$ℝ^d$ 内の回転対称ポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素へ一般化すること。
• 本質的スペクトル未満の固有値に関連する固有関数のノード領域数の漸近的挙動を分析すること。
• ノード領域数を固有値インデックスで割った比の上極限が、回転対称ポテンシャルの具体的な形に依存せず、プレイジェル定数 $γ(d)$ で抑えられることを確立すること。
• ポテンシャルが $+\infty$ に発散する場合と $0$ に減少する場合の2つの異なる状況を、やや弱い正則性および単調性条件のもとで取り扱うこと。

提案手法

• 固有値が $\lambda$ 未満である個数を表す $N(\lambda)$ について、回転対称ポテンシャル $V(x) = v(|x|)$ をもつシュレーディンガー作用素に適応したウェイの漸近公式を適用すること。
• 関数 $v(r)$ の半径方向の挙動に基づいて、$ℝ^d$ を輪状領域 $D_i(\lambda)$ に分割し、$\nu(\lambda)$ がその領域数を制御すること。
• 各領域において、局所的ポテンシャルの体積とスペクトルギャップに基づいて、ノード領域数を抑えられるように変更されたファーベル＝クラウーン不等式を適用すること。
• 異なる領域におけるノード領域数の制御：原点付近の $D_{11}(\lambda)$（ポテンシャルが特異である可能性がある）、中間領域の $D_{12}(\lambda)$、および $i \geq 2$ の外側領域 $D_i(\lambda)$。
• 各領域が総ノード領域数に与える寄与が、ウェイ型体積項 $W(\lambda)$ に比べて漸近的に無視可能であることを示すこと。
• $N(\lambda)$ と $W(\lambda)$ の漸近的挙動、および $N(\lambda_n) \leq n-1$ である事実を用いて、最終的な上極限の上限 $\mu(\phi_n)/n \leq \gamma(d)$ を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プレイジェルの定理は、$ℝ^d$ 内の回転対称ポテンシャルをもつシュレーディンガー作用素へ拡張可能か？
• RQ2 ノード領域数を固有値インデックスで割った比の上極限が、回転対称ポテンシャルに対してプレイジェル定数 $γ(d)$ で抑えられるか？
• RQ3 回転対称ポテンシャルの異なる漸近的挙動（$+\infty$ に発散するか、$0$ に減少するか）は、ノード領域の増加にどのように影響するか？
• RQ4 ウェイの漸近的公式とファーベル＝クラウーン不等式は、特異的または緩やかに減少する回転対称ポテンシャルに対応するために適応可能か？
• RQ5 ポテンシャルがやや弱い正則性および単調性条件を満たす限り、ノード領域数の上界は具体的な回転対称ポテンシャルに依存しないか？

主な発見

• $d \geq 2$ および $V(x) = v(|x|)$ をもつ $ℝ^d$ 内の回転対称シュレーディンガー作用素 $H_V = -\Delta + V$ に対して、$v \in C^1(0,\infty)$、$r$ が十分大きいとき $v' > 0$、原点付近でのやや弱い特異性制御がなされていると仮定すると、$n \to \infty$ のときの $\mu(\phi_n)/n$ の上極限は $\gamma(d)$ で抑えられる。
• ポテンシャル $v(r) \to +\infty$ ($r \to \infty$) の場合（ケースA）と $v(r) \to 0$ ($r \to \infty$) の場合（ケースB）の両方において、$\nu(\lambda)$ の適切な漸近的条件のもとで結果が成り立つ。
• 上界 $\gamma(d)$ は回転対称ポテンシャル $V$ に依存せず、元々のプレイジェル定理におけるラプラシアンの場合と同様である。
• 証明は空間を輪状領域に分割し、局所的ファーベル＝クラウーン型推定を適用することに依拠しており、各領域からの寄与が漸近的状態で支配的でないことが示された。
• $N(\lambda)$、すなわち $\lambda$ 未満の固有値の個数の漸近的挙動が $N(\lambda) \sim W(\lambda)$ を満たすことが示され、これによりウェイの公式とノード領域の上極限制御から最終的な上限が導出可能である。
• 両ケースにおいて、$\lambda \to \infty$ または $\lambda \to 0^-$ のとき、$\mu(u_\lambda) \leq \gamma(d) N(\lambda) (1 + o(1))$ という重要な不等式が成り立ち、結論として $\limsup_{n \to \infty} \mu(\phi_n)/n \leq \gamma(d)$ が得られる。