[論文レビュー] Pluri-potential theory on Grauert tubes of real analytic Riemannian manifolds, I

Steven Zelditch|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、実解析的リーマン多様体の複素化近傍（Grauertチューブ）上で、スペクトル射影子の解析接続を用いて極値の正シーブ函数の類似物を導入することにより、複素多様体上の全正シーブ函数理論を展開する。正規化された複素スペクトル射影子の対数がGrauertチューブ関数に収束することを確立し、固有関数のノルム推定、三重積分、複素ノード集合への応用が可能となる。

ABSTRACT

We develop analogues for Grauert tubes of real analytic Riemannian manifolds (M,g) of some basic notions of pluri-potential theory, such as the Siciak extremal function. The basic idea is to use analytic continuations of eigenfunctions in place of polynomials or sections of powers of positive line bundles for pluripotential theory. The analytically continued Poisson-wave kernel plays the role of Bergman kernel. The main results are Weyl laws in the complex domain, distribution of complex zeros of eigenfunctions on locally symmetric spaces, and estimates of triple products of eigenfunctions.

研究の動機と目的

• 複素数 $\mathbb{C}^m$ 内の厳密に擬強凸領域における全正シーブ函数（PSH）函数理論の基礎的概念を、実解析的リーマン多様体のGrauertチューブへと拡張すること。
• 複素化されたスペクトル射影子を用いて、Siciak-Zaharjutaの極値全正シーブ函数のGrauertチューブ版を定義・解析すること。
• 正規化された複素スペクトル射影子の対数が、$\sqrt{\rho}(\zeta)$ に収束することを確立し、スペクトル理論と複素幾何を結びつけること。
• 理論を固有関数のノルム推定、三重積分、複素ノード集合の分布に応用すること。
• 非正曲率を持つ局所的に対称な多様体上での固有関数の複素零点の極限分布が、エルゴディックの場合と同じ漸近法則に従うことを示すこと。

提案手法

• 固有関数 $\varphi_{\lambda_j}^\mathbb{C}$ の解析接続を、$\sqrt{\rho}(\zeta) < \tau$ で定義されるGrauertチューブ $M_\tau$ へ行う。ここで $\sqrt{\rho}$ はGrauertチューブ関数である。
• 複素化されたスペクトル射影子 $\Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta}) = \sum_{\lambda_j \in I_\lambda} |\varphi_{\lambda_j}^\mathbb{C}(\zeta)|^2$ を定義する。これは指数的増大を示し、全正シーブ函数である。
• Siciak-Zaharjutaの極値関数の類似物として、正規化された対数 $\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta})$ を導入する。
• 局所的Weyl法の1項版と固有関数の増大性の性質を用いて、$\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta}) \to \sqrt{\rho}(\zeta)$ の収束を証明する。
• 解析のための正則化版として、温度付きスペクトルカーネル $P_{I_\lambda}^\tau(\zeta,\bar{\zeta}) = \sum_{\lambda_j \in I_\lambda} e^{-\tau\lambda_j} |\varphi_{\lambda_j}^\mathbb{C}(\zeta)|^2$ を用いる。
• 三重積分と複素ノード集合への応用は、$\varphi_{\lambda}^\mathbb{C}$ の零点 divisor に関連する電流 $[Z_{\varphi_{\lambda}^\mathbb{C}}]$ を用いて行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル射影子の文脈において、Siciak-Zaharjutaの極値全正シーブ函数のGrauertチューブ版とは何か？
• RQ2 正規化された複素スペクトル射影子の対数は、幾何的チューブ関数 $\sqrt{\rho}(\zeta)$ とどのように関係しているか？
• RQ3 Grauertチューブ内での固有関数の漸近的挙動を用いて、ノルム推定や三重積分の境界を導出できるか？
• RQ4 非正曲率を持つ高ランクの局所的に対称な多様体上での固有関数の複素ノード集合の極限分布は何か？
• RQ5 Grauertチューブの解析的および幾何的最大半径は等価であり、このことは理論にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 正規化された複素スペクトル射影子の対数 $\frac{1}{\lambda}\log \Pi_{I_\lambda}^\mathbb{C}(\zeta,\bar{\zeta})$ は、$\lambda \to \infty$ のとき、Grauertチューブ関数 $\sqrt{\rho}(\zeta)$ に収束する。
• 収束は1項の局所的Weyl法を用いて確立され、[GLS] における既存の結果よりも、複素化された固有関数の点ごとの境界を改善する。
• 複素化された固有関数 $\varphi_j^\mathbb{C}$ を $\partial M_\tau$ に $L^2$-正規化した制限 $U_j$ に対して、$\frac{1}{\lambda_j}\log|U_j|^2$ の列は $\tau < \tau_{\text{an}}$ のとき $L^1(M_\tau)$ 内で相対コンパクトである。
• 非正曲率を持つ高ランクの局所的に対称な多様体上の固有関数に対して、複素ノード集合の極限分布は $\frac{1}{\lambda_j}[Z_{\varphi_j^\mathbb{C}}] \to \frac{i}{\pi}\partial\bar{\partial}|\xi|_g$ を弱収束として $\mathcal{D}'^{(1,1)}(B^*_\varepsilon M)$ 内で満たす。
• 関連する半古典的測度に正のHaar成分がある場合、全列に対して極限公式が成り立つ。これは [AS] における定理により、$SL_n(\mathbb{R})$ のコアーポンクト格子に対して保証される。
• Grauertチューブの解析的および幾何的最大半径は等しく、§11.1 に概説された通り、チューブ構成の整合性が確認される。