[論文レビュー] Pluricanonical systems of projective varieties of general type

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Sep 3, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

本論文は、次元 $n$ のみに依存する一様な整数 $ u_n$ が存在することを確立している。任意の一般型の滑らかで複素数の射影的 $n$-fold $X$ に対して、$|mK_X|$ はすべての $m \geq \nu_n$ に対して双有理写像を与える。証明は特異ヒルベルト計量と $L^2$-拡張定理を用いる解析的手法に依拠し、最小モデルプログラムを仮定しない。また、体積 $K_X^n \geq C_n$ の一様な下界を確立し、高次元代数多様体の双有理幾何における根本的問題を解決する。

ABSTRACT

We prove that there exists a positive integer $ν_{n}$ depending only on $n$ such that for every smooth projective $n$-fold of general type $X$ defined over {\bf C}, $\mid mK_{X}\mid$ gives a birational rational map from $X$ into a projective space for every $m\geq ν_{n}$. This theorem gives an affirmative answer to Severi's conjecture. The key ingredients of the proof are the theory of AZD which was originated by the aurhor and the subadjunction formula for AZD's of logcanoncial divisors.

研究の動機と目的

• すべての滑らかで複素数の射影的 $n$-fold $X$ が一般型であるような場合に、$|mK_X|$ がすべての $m \geq \nu_n$ に対して双有理写像を与える一様整数 $\nu_n$ を見つけるという根本的問題を解決すること。
• すべてのこのような $X$ に対して、体積 $K_X^n$ の一様な下界 $C_n$ を確立すること。
• 最小モデルプログラムを仮定せず、乗数イデアル sheaf と $L^2$-拡張定理に基づく解析的技法を用いて、これらの結果を証明すること。
• これらの結果をセベリ＝イイタカ予想に応用し、$X$ から一般型多様体への支配的有理写像の集合が有限であることを証明すること。

提案手法

• 正則なゼロ点のない正則的ヒルベルト計量（AZD）を用いて、正則バンドル $K_X$ の正性を制御する。
• 特異計量を持つラインバンドルに対する $L^2$-拡張定理を適用し、グローバルセクションを構成する。
• 正則バンドルの特異性をエンコードする関数 $\Psi$ を構成し、対数正則な中心を分析する。
• 特異計量に対する新しい部分埋め込み定理を用い、部分多様体の正則バンドルと周囲の多様体との関係を関係づける。
• Green関数の特異性に基づく $X \times X - \Delta_X$ の階層化を用い、点の分離を制御する。
• 階層化に関連する不変量 $\mu_i$ および $n_i$ の境界を用いて、多様体の正則写像の次数を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての滑らかで複素数の射影的 $n$-fold $X$ が一般型であるような場合に、$|mK_X|$ がすべての $m \geq \nu_n$ に対して双有理写像を与える一様整数 $\nu_n$ が存在するか？
• RQ2 すべてのこのような $X$ に対して、体積 $K_X^n$ の一様な下界 $C_n$ を確立できるか？
• RQ3 これらの結果は最小モデルプログラムを仮定せず、証明可能か？
• RQ4 セベリ＝イイタカ予想は成り立つか、すなわち $X$ から一般型多様体への支配的有理写像の集合は有限か？
• RQ5 $X$ を支配する部分多様体族における $K_X$ の正性は、どのように制御できるか？

主な発見

• 次元 $n$ のみに依存する正の整数 $\nu_n$ が存在し、すべての滑らかで複素数の射影的 $n$-fold $X$ が一般型であるような場合に、$|mK_X|$ はすべての $m \geq \nu_n$ に対して双有理有理写像を与える。
• すべてのこのような $X$ に対して、正の定数 $C_n$ が存在し、$K_X^n \geq C_n$ を満たす。これは体積の均一な下界を提供する。
• すべての $m \geq \nu_n$ に対して、正則写像 $\Phi_{|mK_X|}$ の次数は $C^n$ で上から抑えられる。ここで $C$ は $n$ のみに依存する。
• 最小モデルプログラムを仮定せず、$L^2$-拡張と特異計量を用いる解析的手法に依拠して証明が完了している。
• セベリ＝イイタカ予想は成り立つ：$X$ から一般型多様体への支配的有理写像の集合 $Sev(X)$ は有限である。
• これらの結果は、体積 $\mu(X,K_X) = n! \cdot \varlimsup_{m \to \infty} m^{-n} \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(mK_X)) \geq C_n$ の一様な下界の存在と同値である。