[論文レビュー] Pluricomplex charge at weak singularities

Jonas Wiklund|ArXiv.org|Oct 31, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、複素モンジュ・アンペール測度 $ (dd^c u)^n $ の残差質量が、擬・シュバルツ函数 $ u $ のLelong数がゼロである点で消えるかどうか、という、擬・シュバルツポテンシャル論における主要な未解決問題を調査する。エネルギークラス $ \mathscr{F} $、回転対称性の仮定、および比較原理を用いて、$ \mathbb{C}^2 $ 内の回転対称関数について、ある軸に沿って有限なLelong数を持つ場合、Lelong数がゼロであれば原点におけるモンジュ・アンペール質量が消えることを証明する。これは一般予想に対する強い証拠を提供する。

ABSTRACT

Let $u$ be a plurisubharmonic function, defined on a neighbourhood of a point $x,$ such that the complex Monge-Ampère operator is well-defined on $u.$ Suppose also that $u$ has a weak singularity, in the sense that the Lelong number of $u$ at $x$ vanish. Is it true that the residual mass of the measure $(dd^c{u})^n$ vanish at $x$? To our knowledge there is no known example that falsifies the posed question. In this paper some partial results are obtained. We find that for a significant subset of plurisubharmonic functions with well defined Monge-Ampère mass vanishing Lelong number does implies vanishing residual mass of the Monge-Ampère measure.

研究の動機と目的

• 長年の未解決問題である、点におけるLelong数がゼロであれば $ (dd^c u)^n $ の残差質量もゼロになるか否かを解明すること。
• 特異な振る舞いを示しても原点にデルタ関数質量を持たないモンジュ・アンペール測度が成立する条件を確立すること。
• エネルギークラスと近似技法を用いて、既知の擬・シュバルツ函数クラスの部分的結果をより広い設定へと拡張すること。
• 弱い特異点の文脈において、Lelong数とモンジュ・アンペール質量の相関関係を調査すること。

提案手法

• 擬・シュバルツ函数の複素エネルギーが有限であるクラス $ \mathscr{F}(D^2) $ を用い、モンジュ・アンペール作用素が適切に定義されることを保証する。
• 特に $ \mathscr{E}_0 $ 内の単調減少列の文脈で、$ (dd^c u)^n $ の比較原理および収束定理を適用する。
• 最初の変数における回転対称性を用いて、問題を $ z_2 $-軸に沿う1次元比較に簡略化する。
• $ f_j \nearrow 0 $ 几乎 everywhere であるように、補助関数 $ v_j = \max(u, c\log|z_2| + f_j) $ を構成し、$ \max(u, c\log|z_2|) $ を近似する。
• リエス分解定理を用いて、亜調和制限をポテンシャルと調和関数の和として表現し、原点における質量を制御可能にする。
• モンジュ・アンペール測度の弱*収束に関する定理2.4を適用し、極限に移行して質量を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点におけるLelong数がゼロであれば、$ (dd^c u)^n $ の残差質量もその点で消えるか？
• RQ2 Lelong数が有限だがゼロでない場合、モンジュ・アンペール測度の残差質量を制御できるか？
• RQ3 最初の変数における回転対称性は、$ n $ 次元問題を低次元問題にまで簡略化できる程度にどの程度まで可能か？
• RQ4 この結果を、Lelong数がゼロである非回転対称関数へ一般化することは可能か？

主な発見

• 回転対称な擬・シュバルツ函数 $ u \in \mathscr{F}(D^2) $ で、$ \nu(u_{\mathbf{e}_2}, 0) = c < \infty $ を満たすものについて、残差質量 $ (dd^c u)^2(\{0\}) $ は $ \max(c\log|z_2|, u(z_1,z_2)) $ のそれと等しい。
• $ \nu(u, 0) = 0 $ であれば、$ (dd^c u)^2(\{0\}) = 0 $ となる。ただし $ u $ はコンパクト集合の外で有界で、$ \nu(u_{\mathbf{e}_2}, 0) < \infty $ であるものとする。
• $ u $ がコンパクト集合の外で有界で、最初の変数に関して回転対称であるという仮定のもとで、$ u \in \mathscr{F}(D^2) $ が保証される。
• 証明は、$ \max(u, c\log|z_2|) $ にほとんど everywhere で局所的に収束する近似関数 $ v_j $ の構成に依存し、これによりモンジュ・アンペール測度の弱*収束が利用可能になる。
• 鍵となるステップは、$ \nu(\max(c\log|z_2|, u), 0) = 0 $ を示すことであり、これにより命題2.3より測度が原点で質量ゼロを持つことが示される。
• この結果は、Lelong数がゼロであれば残差質量もゼロになるという一般予想を支持するが、一般の場合については未解決のままである。