[論文レビュー] Plurisubharmonic Functions in Calibrated Geometries

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、複素幾何における古典的ポテンシャル論の一般化として、校正幾何における $φ$-正則次下函数を導入し、その性質を研究する。これらの函数は豊富に存在し、$φ$-部分多様体上での下調和性といった重要な解析的性質を有しており、凸性、双対性、境界挙動に関する結果の拡張を可能にする。これにより、特に正則調和函数が乏しい状況においても、校正多様体に対する強固な解析的枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study the notion of plurisubharmonic functions in calibrated geometry. These functions generalize the classical plurisubharmonic functions from complex geometry and enjoy many of their important properties. Moreover, they exist in abundance whereas the corresponding pluriharmonics are generally quite scarce. A number of the results established in complex analysis via plurisubharmonic functions are extended to calibrated manifolds. This paper investigates, in depth, questions of: pseudo-convexity and cores, positive phi-currents, Duval-Sibony Duality, and boundaries of phi-submanifolds, all in the context of a general calibrated manifold (X,phi). Analogues of totally real submanifolds are used to construct enormous families of strictly phi-convex spaces with every topological type allowed by Morse Theory. Specific calibrations are used as examples throughout. Analogues of the Hodge Conjecture in calibrated geometry are considered.

研究の動機と目的

• 複素幾何における正則次下函数に類似する、校正幾何における解析的枠組みの構築を目的とする。
• G2、Spin(7)、特殊ラグランジュ的など、非ケーラーな校正幾何において $φ$-正則調和函数が乏しいという問題に取り組む。
• 複素解析における古典的結果（例：凸性、双対性、最大原理）を一般校正多様体 $(X, φ)$ に拡張することを目的とする。
• φ-完全実部分多様体を用いて、任意の位相型を実現可能な、厳密に $φ$-凸な空間の大きな族を構成することを目的とする。
• φ-正則次下函数の観点から、校正幾何におけるホッジ予想の類似を探索することを目的とする。

提案手法

• $\mathcal{H}^\phi(f) = \lambda_\phi(\text{Hess}f)$ を $φ$-ヘッシアン作用素として定義する。ここで $\lambda_\phi$ は $D_{A^*}(\phi)$ を用いて自己準同型を $p$-形式に写像する。
• 任意の $φ$-平面 $\xi$ に対して $\mathcal{H}^\phi(f)(\xi) \geq 0$ が成り立つとき、関数 $f$ は $φ$-正則次下であると定義する。
• $d^\phi f = \nabla f \llcorner \phi$ を用いて $dd^\phi f$ を定義し、$\mathcal{H}^\phi f = dd^\phi f - \nabla_{\nabla f}(\phi)$ を通じて $φ$-ヘッシアンと関連付ける。
• $φ$-正則次下函数を $φ$-部分多様体に制限したとき、その誘導計量において下調和であることを確立する。
• $dd^\phi f = df \wedge \alpha_f + \sigma_f$（$\sigma_f \in \Lambda(\phi)^\perp$）という分解を通じて、$φ$-正則調和函数 mod $d$ の概念を導入する。
• $\Lambda(\phi|_W)^\perp = \Lambda(\phi)^\perp|_W$ を満たす正規校正を定義する。このような校正に対して、$f$ が $φ$-正則調和函数 mod $d$ であることと、その等高面が $φ$-平坦であることとは同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー多様体を超える校正幾何において、正則次下函数をどのように一般化できるか？
• RQ2 一般校正多様体上における $φ$-正則次下函数の幾何的・解析的性質は何か？
• RQ3 複素解析における古典的結果（例：最大原理、双対性）は、どの程度校正幾何へと拡張可能か？
• RQ4 関数の等高面がいつ $φ$-平坦となるか、そしてそれは $φ$-正則調和函数 mod $d$ とどのように関係するか？
• RQ5 $φ$-凸空間の位相的・幾何的制約は何か？ また、それらはすべてモース理論的型を実現可能か？

主な発見

• 任意の $φ$-部分多様体への $φ$-正則次下函数の制限は、誘導計量において下調和である。
• リーマン多様体上の任意の凸函数は $φ$-正則次下であり、局所的には非凸な $φ$-正則次下函数が豊富に存在する。
• 正規校正（例：ケーラー、特殊ラグランジュ的、アソシエイティブ）では、勾配が消えない滑らかな関数 $f$ が $φ$-正則調和函数 mod $d$ であるための必要十分条件は、その等高面が $φ$-平坦であることである。
• $f$ が $φ$-正則調和函数 mod $d$ であり、$M$ が $φ$-部分多様体であるとき、$u = f|_M$ は $\Delta_M u = *(du \wedge \beta)$（$\beta = \alpha_f|_M$）を満たし、最大原理の応用が可能になる。
• 境界 $\Gamma$ を持つコンパクトな $φ$-部分多様体 $M$ において、$f$ が $\Gamma$ 上で定数であれば、$f$ は $M$ 全体で定数であり、点ごとに $d^\phi f|\Gamma \equiv 0$ が成り立つ。
• G2 および Spin(7) の幾何において、すべての $φ$-正則調和函数は定数であり、非ケーラーな校正設定においてこのような函数がいかに乏しいかが浮き彫りになる。