[論文レビュー] Plurisubharmonic functions with weak singularities

Slimane Benelkourchi, Vincent Guedj+1 more|ArXiv.org|Feb 22, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、重み関数 $\chi:\mathbb{R}^{-}\to\mathbb{R}^{-}$ を用いた重み付き Monge-Ampère エネルギークラス $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ を用いて、弱い特異性をもつ多複素調和関数の統一的枠組みを導入する。これは Cegrell のクラスを一般化したものであり、部分的レベル集合の Monge-Ampère 容量の崩壊速度を用いたこれらのクラスの特徴付けを提供し、中間的成長を示す測度に対して複素 Monge-Ampère 方程式を解く。Cegrell と Kolodziej の結果の間のギャップを埋める。

ABSTRACT

We study the complex Monge-Ampère operator in bounded hyperconvex domains of $\C^n$. We introduce a scale of classes of weakly singular plurisubharmonic functions : these are functions of finite weighted Monge-Ampère energy. They generalize the classes introduced by U.Cegrell, and give a stratification of the space of (almost) all unbounded plurisubharmonic functions. We give an interpretation of these classes in terms of the speed of decreasing of the Monge-Ampère capacity of sublevel sets and solve associated complex Monge-Ampère equations.

研究の動機と目的

• Cegrell の有限な重み付き Monge-Ampère エネルギーをもつ多複素調和関数のクラスを、増加関数 $\chi:\mathbb{R}^{-}\to\mathbb{R}^{-}$ を用いた新しい形式で一般化すること。
• 既存のクラス $\mathcal{E}^p(\Omega)$, $\mathcal{F}^p(\Omega)$, $\mathcal{F}_a(\Omega)$ を $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ フレームワークを用いて統一的に取り扱うこと。
• $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ クラスを部分的レベル集合の Monge-Ampère 容量の崩壊速度によって特徴付けること。
• Cegrell と Kolodziej が研究した領域の間の測度に支配される中間的成長を示す有限 Borel 測度 $\mu$ に対して、複素 Monge-Ampère 方程式 $(dd^c\varphi)^n = \mu$ を解くこと。
• 解が $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ に属するための必要十分条件を、中間的成長率を示す容量による $\mu$ の支配性の観点から確立すること。

提案手法

• クラス $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ を、減少列 $u_j \in \mathcal{T}(\Omega)$ が存在して $\sup_j \int_\Omega (-\chi) \circ u_j \, (dd^c u_j)^n < \infty$ を満たすような多複素調和関数 $u$ の集合として定義する。これは Cegrell のエネルギークラスを一般化する。
• 正規化近似 $u_j = \max(u, -j)$ を用いて、すべてのボレル集合 $B \subset \Omega \setminus \{u = -\infty\}$ に対して $\int_B (dd^c u)^n = \lim_{j\to\infty} \int_{B \cap \{u > -j\}} (dd^c u_j)^n$ が成り立つことを証明し、Monge-Ampère 演算子の連続性を保証する。
• 容量的解釈を確立する：$\mathcal{E}^p(\Omega) = \left\{ \varphi \in PSH^{-}(\Omega) \,\middle|\, \int_0^{\infty} (-\varphi)^{n+p-1} \operatorname{Cap}_\Omega(\{\varphi < -t\}) \, dt < \infty \right\}$ であり、エネルギーの有限性と容量の崩壊を結びつける。
• 測度 $\mu$ を支配する関数 $F_\mu(t) = \sup\{ \mu(K) \mid \operatorname{Cap}_\Omega(K) \leq t \}$ を導入し、条件 (5.3) を用いて $(dd^c\varphi)^n = \mu$ の可解性を $\chi$-エネルギーの観点から特徴付ける。
• 条件 (5.3)：$\int_\Omega (-\chi) \circ u \, d\mu \leq F(E_\chi(u))$ がすべての $u \in \mathcal{T}(\Omega)$ に対して成り立つ場合に、$\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 内に解が存在することを証明する。ここで $F$ は増加関数で $\limsup_{t\to\infty} F(t)/t < 1$ を満たす。
• 解に対する事前評価を導出する：$\varphi \geq -s_\infty$ であり、$s_\infty \leq e \int_0^\infty \varepsilon(t) \, dt + e\varepsilon(0) + \mu(\Omega)^{1/n}$ である。ここで $\mu$ が $\varepsilon$ を用いて支配条件を満たし、$\int_0^\infty \varepsilon(t) \, dt < \infty$ であると仮定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cegrell の有限エネルギーをもつ多複素調和関数のクラスを、重み関数 $\chi$ を用いた統一的枠組みに一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 $\mathcal{E}^p(\Omega)$ クラスの正確な容量的特徴付けは、部分的レベル集合の Monge-Ampère 容量の崩壊速度の観点からどのように表されるか？
• RQ3 有限 Borel 測度 $\mu$ が中間的成長率を示す場合、複素 Monge-Ampère 方程式 $(dd^c\varphi)^n = \mu$ が $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 内に解をもつための条件は何か？
• RQ4 Cegrell と Kolodziej の Monge-Ampère 可解性に関する結果の間のギャップを、中間的成長を示す容量に関する $\mu$ を支配する関数 $F$ を導入することによって埋めることは可能か？
• RQ5 $\mathcal{F}^p(\Omega)$ に属する関数の $L^p(\mu)$-可積分性と、容量の指数 $\alpha$ を用いた $\mu$ の支配性との関係は何か？

主な発見

• クラス $\mathcal{E}^p(\Omega)$ は条件 $\int_0^{\infty} (-\varphi)^{n+p-1} \operatorname{Cap}_\Omega(\{\varphi < -t\}) \, dt < \infty$ によって特徴付けられ、有限 $p$-エネルギーの鋭い容量的解釈を提供する。
• $\chi(t) = -(-t)^p$ の場合、条件 $\int_\Omega (-\chi) \circ u \, d\mu \leq C \cdot E_\chi(u)^{p/(p+n)}$ が、$(dd^c\varphi)^n = \mu$ の解 $\varphi \in \mathcal{F}^p(\Omega)$ が存在するための必要十分条件である。これは Cegrell の結果を一般化する。
• $\mu(K) \leq C \cdot \operatorname{Cap}_\Omega(K)^{p/(p+n)}$ がすべてのコンパクト集合 $K$ に対して成り立つならば、$\mathcal{F}^p(\Omega) \subset L^p(\mu)$ であり、逆に $\mu \lesssim \operatorname{Cap}_\Omega^\alpha$ で $\alpha > p/(p+n)$ ならば、$\mathcal{F}^p(\Omega) \subset L^p(\mu)$ である。容量の支配性と可積分性の双対性を確立する。
• 方程式 $(dd^c\varphi)^n = \mu$ の解 $\varphi$ は、事前評価 $\varphi \geq -s_\infty$ を満たす。ここで $s_\infty \leq e \int_0^\infty \varepsilon(t) \, dt + e\varepsilon(0) + \mu(\Omega)^{1/n}$ であり、$\mu$ が $\varepsilon$ を用いて支配条件を満たす場合に成り立つ。これにより一様な制御が保証される。
• $\mu$ が $\int_\Omega (-\chi) \circ u \, d\mu \leq F(E_\chi(u))$ をすべての $u \in \mathcal{T}(\Omega)$ に対して満たす場合、$\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 内に解 $\varphi$ が存在することが保証される。ここで $F$ は増加関数で $\limsup_{t\to\infty} F(t)/t < 1$ を満たす。これは Cegrell の結果を広範な重みクラスにまで拡張する。
• $\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ は $DMA(\Omega)$ に含まれ、$\mathcal{E}_\chi(\Omega)$ 内の減少列に沿って Monge-Ampère 演算子は連続である。これにより、このクラス上での演算子の定義が保証される。