[論文レビュー] Plurisubharmonicity and geodesic convexity of energy function on Teichmüller space

Инканг Ким, Xueyuan Wan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2018

Analytic and geometric function theory参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、テイヒミュラー空間内のリーマン多様体から双曲的表面への調和写像のエネルギー汎関数の対数が、厳密に複素多重上への正則性を示し、テイヒミュラー空間のステイン性の新たな証明を提供する。さらに、ウィール＝ペトゥルスジオデシックに沿ったエネルギー関数の厳密な凸性を証明し、正確な2次変動公式を導出し、地図長関数に対しても含む。また、$ E(t)^c $ が $ c > 5/6 $ で厳密に凸であり、$ c = 5/6 $ で凸であることを示す。

ABSTRACT

Let $π:\mc{X} o \mc{T}$ be Teichmüller curve over Teichmüller space $\mc{T}$, such that the fiber $\mc{X}_z=π^{-1}(z)$ is exactly the Riemann surface given by the complex structure $z\in \mc{T}$. For a fixed Riemannian manifold $M$ and a continuous map $u_0: M o \mc{X}_{z_0}$, let $E(z)$ denote the energy function of the harmonic map $u(z):M o \mc{X}_z$ homotopic to $u_0$, $z\in \mathcal T$. We obtain the first and the second variations of the energy function $E(z)$, and show that $\log E(z)$ is strictly plurisubharmonic on Teichmüller space, from which we give a new proof on the Steinness of Teichmüller space. We also obtain a precise formula on the second variation of $E^{1/2}$ if $\dim M=1$. In particular, we get the formula of Axelsson-Schumacher on the second variation of the geodesic length function. We give also a simple and corrected proof for the theorem of Yamada, the convexity of energy function $E(t)$ along Weil-Petersson geodesics. As an application we show that $E(t)^c$ is also strictly convex for $c>5/6$ and convex for $c=5/6$ along Weil-Petersson geodesics. We also reprove a Kerckhoff's theorem which is a positive answer to the Nielsen realization problem.

研究の動機と目的

• テイヒミュラー空間上でのエネルギー汎関数の対数の複素多重上への正則性を確立し、テイヒミュラー空間のステイン性の新たな証明を提供すること。
• テイヒミュラー空間の文脈における調和写像のエネルギー汎関数 $ E(z) $ の正確な一次および二次変動公式を導出すること。
• ウィール＝ペトゥルスジオデシックに沿って $ E(t)^c $ が $ c > 5/6 $ で厳密に凸であり、$ c = 5/6 $ で凸であることを証明し、地図長関数に関する既知の結果を拡張すること。
• 調和写像エネルギーの枠組みを用いて、地図長関数の2次変動公式を再導出し、是正すること。
• エネルギー汎関数の凸性とpropernessを用いて、ヤマダの定理（ウィール＝ペトゥルスジオデシックに沿ったエネルギー凸性）の簡略化および是正された証明を提供し、エネルギー汎関数を用いてケルクフのニエルセン実現定理を再証すること。

提案手法

• テイヒミュラー空間 $ \tilde{\rho} $ 上のリーマン多様体をパラメトライズするテイヒミュラー曲線 $ \rho: \tilde{\rho} \to \tilde{\rho} $ を用い、ファイバー $ \tilde{\rho}_z $ が双曲的計量を持つようにする。
• 固定されたリーマン多様体 $ (M^n, g) $ からファイバー $ \tilde{\rho}_z $ への調和写像の理論を適用し、固定された写像 $ u_0 $ にホモトープな調和代表の存在と一意性を保証する。
• 複素構造の無限小変形と関連するベルトラミー微分を用いて、エネルギー汎関数 $ E(z) = \frac{1}{2} \int_M |du(z)|^2 d\mu_g $ の一次および二次変動を計算する。
• プルバック計量のトレースとベルトラミー微分 $ q $ を含む2次変動公式を導出し、$ \delta^2 E(u_0)(W_0, W_0) \leq \int_M \frac{|q|^2}{\phi_0^2} \text{Tr}_g(u_0^* \Phi_0) d\mu_g $ を示す。
• 曲率推定とトレース不等式を組み合わせて2次変動の正定性を確立し、$ \frac{d^2}{dt^2} E(t) \geq \int_M \frac{|q|^2}{3\phi_0^2} \text{Tr}_g(u_0^* \Phi_0) d\mu_g > 0 $ を証明する。
• 2次変動の結果を用いて $ \frac{d^2}{dt^2} E(t)^c $ を分析し、$ \left( \frac{dE}{dt} \right)^2 \leq 6E \frac{d^2E}{dt^2} $ を含む2次不等式を介して、$ c > 5/6 $ の厳密な凸性の条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー汎関数 $ \log E(z) $ はテイヒミュラー空間上で厳密に複素多重上へ正則であるか？
• RQ2 エネルギー汎関数 $ E(t) $ はウィール＝ペトゥルスジオデシックに沿って厳密に凸のままであり、どのべき乗 $ c $ に対して $ E(t)^c $ が凸または厳密に凸であるか？
• RQ3 次元が1の領域多様体の場合、$ E^{1/2}(t) $ の正確な2次変動公式は何か？
• RQ4 地図長関数の2次変動は、エネルギー汎関数の枠組みから回復可能か？
• RQ5 エネルギー汎関数の凸性とpropernessを用いて、ニエルセン実現問題を再証可能か？

主な発見

• エネルギー汎関数 $ \log E(z) $ はテイヒミュラー空間上で厳密に複素多重上へ正則であり、これによりテイヒミュラー空間のステイン性の新たな証明が得られる。
• ウィール＝ペトゥルスジオデシックに沿ったエネルギー汎関数 $ E(t) $ の2次変動は厳密に正であり、ヤマダの定理による $ E(t) $ の厳密な凸性を確認する。
• ウィール＝ペトゥルスジオデシックに沿って $ E(t)^c $ は $ c > 5/6 $ で厳密に凸であり、$ c = 5/6 $ で凸である。閾値 $ 5/6 $ は、一次および二次導関数を含む2次不等式から生じる。
• 地図曲線（エネルギーが長さの二乗に等しい）に特化することで、本稿はアクセルソンとシューマッハの地図長関数の2次変動公式を再発見し、是正する。
• 充填族の曲線全体にわたるエネルギー汎関数の和はproperかつ厳密に凸であり、群作用に関して不変な唯一の最小点を持つ。これにより、ケルクフのニエルセン実現定理の新たな証明が得られる。
• 次元 $ \dim M = 1 $ の場合、$ E^{1/2}(t) $ の2次変動が明示的に導出され、正確な公式が得られ、既知の地図長関数の2次変動を回復する。