[論文レビュー] $\pmb{D}$-boundedness and $\pmb{D}$-compactness in finite dimensional probabilistic normed spaces

Reza Saadati, Massoud Amini|ArXiv.org|Dec 14, 2005

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、有限次元の確率的ノルム空間（PN空間）において、すべての確率的ノルムが同値であることを確立し、アーチメデスの三角関数、ラフエルサ・ギリエン性、D+の三角関数に関する不変性といった条件下で、部分集合がD-コンパクトであることと、D-有界かつ閉集合であることの必要十分条件を証明している。主な貢献は、有限次元において古典的なヘイネ＝ボレルの定理に類似したD-コンパクト性の特徴付けである。

ABSTRACT

In this paper, we prove that in a finite dimensional probabilistic normed space, every two probabilistic norms are equivalent and we study the notion of $D$-compactness and $D$-boundedness in probabilistic normed spaces.

研究の動機と目的

• 有限次元の確率的ノルム空間におけるすべての確率的ノルムが同値であることを確立すること。
• PN空間におけるD-有界集合およびD-コンパクト集合の位相的性質を調査すること。
• アーチメデスのτ∗、LG性、D+の不変性といった特定の条件下で、有限次元PN空間におけるD-コンパクト性を特徴付けること。
• 古典的な有限次元の結果（例えばヘイネ＝ボレルの定理）を確率的ノルム空間の設定に拡張すること。
• 古典的有界性、D-有界性、およびPN空間における収束の関係を明確にすること。

提案手法

• 連続な三角関数τとτ∗、および確率的ノルムν: V → ∆+を用いた確率的ノルム空間（PN空間）の定義を用いる。
• ラフエルサ・ギリエン（LG）性質の適用：すべてのx > 0に対してlim_{|p|→∞} ν_p(x) = 0が成り立ち、ν_p → ε_∞を意味する。
• PN空間の位相における強収束および強コーシー列の概念を用いる。
• D-有界性を定義するために、RA(x) = l⁻inf{ν_p(x) : p ∈ A} を用い、RA ∈ D+ によって定義する。
• τ∗のアーチメデスの性質を適用して、PN空間が位相線形空間であることを保証する。
• 問題を有限次元の基底に還元し、成分ごとのD-有界性を用いて収束する部分列を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元の確率的ノルム空間において、すべての確率的ノルムは同値であるか？
• RQ2 有限次元PN空間のD-有界かつ閉集合がD-コンパクトであるための条件は何か？
• RQ3 ラフエルサ・ギリエン性は、PN空間における古典的有界性および収束とどのように関係するか？
• RQ4 ヘイネ＝ボレルの性質は、有限次元における確率的ノルム空間に拡張可能か？
• RQ5 D-コンパクト性とτおよびτ∗によって誘導される位相的構造の関係は何か？

主な発見

• 任意の有限次元確率的ノルム空間において、すべての確率的ノルムは同値であり、同じ位相を誘導する。
• τ∗がアーチメデス的であり、ν_p ≠ ε_∞、ν(V) ⊆ D+、D+がτに関して不変であり、基本空間(R, ν′, τ′, τ′∗)がLG性質を満たす限り、有限次元PN空間の部分集合AはD-コンパクトであることと、D-有界かつ閉であることの必要十分条件である。
• 例12における{1/m}の列は収束するがD-有界でないため、ν(V) ⊆ D+が成り立たない限り、収束がD-有界性を意味しないことが示された。
• 例25において、A = [a,b] ∩ Q はD-有界かつ閉であるがD-コンパクトでないため、一般にはD-有界かつ閉であるからといってD-コンパクトとは限らないことが示された。
• 例26において、R はD-有界かつ閉であるがD-コンパクトでない。これは、列{2^m}が収束する部分列を持たないためである。
• 定理28の証明では、基底における成分ごとの収束を用いて収束する部分列を構成し、LG性を活用して係数の古典的有界性を保証した。