[論文レビュー] PNKH-B: A Projected Newton-Krylov Method for Large-Scale Bound-Constrained Optimization

Kelvin K.W. Kan, Samy Wu Fung+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

PNKH-B は、探索方向と投影の両方のメトリクスを定義するために低ランクヘッシアン近似を用いる、大規模な境界制約付き最適化のための射影ニュートン・クリロフ法である。これにより、最小限の関数および勾配評価で高速収束が達成される。低ランク構造を活用する内点法により線形計算量を実現し、最終的な精度が競争力を持つ中で初期収束が優れている。

ABSTRACT

We present PNKH-B, a projected Newton-Krylov method for iteratively solving large-scale optimization problems with bound constraints. PNKH-B is geared toward situations in which function and gradient evaluations are expensive, and the (approximate) Hessian is only available through matrix-vector products. This is commonly the case in large-scale parameter estimation, machine learning, and image processing. In each iteration, PNKH-B uses a low-rank approximation of the (approximate) Hessian to determine the search direction and construct the metric used in a projected line search. The key feature of the metric is its consistency with the low-rank approximation of the Hessian on the Krylov subspace. This renders PNKH-B similar to a projected variable metric method. We present an interior point method to solve the quadratic projection problem efficiently. Since the interior point method effectively exploits the low-rank structure, its computational cost only scales linearly with respect to the number of variables, and it only adds negligible computational time. We also experiment with variants of PNKH-B that incorporate estimates of the active set into the Hessian approximation. We prove the global convergence to a stationary point under standard assumptions. Using three numerical experiments motivated by parameter estimation, machine learning, and image reconstruction, we show that the consistent use of the Hessian metric in PNKH-B leads to fast convergence, particularly in the first few iterations. We provide our MATLAB implementation at https://github.com/EmoryMLIP/PNKH-B.

研究の動機と目的

• 関数および勾配評価が高価であり、ヘッシアンが行列-ベクトル積でのみアクセス可能な大規模な境界制約付き最適化の課題に対処すること。
• 完全なヘッシアンの解法や対角近似を必要とせず、高速収束を維持するスケーラブルな最適化手法を開発すること。
• 標準的な仮定の下で局所最適解へのグローバル収束を保証するとともに、計算オーバーヘッドを最小限に抑えること。
• 探索方向と投影の両方で常にヘッシアンに由来するメトリクスを用いることで、初期反復における収束速度を向上させること。
• 低ランクヘッシアン近似に特化した内点法を用いて、変数数に比例して線形にスケールする効率的な二次投影部分問題の解法を提供すること。

提案手法

• 各反復で、ヘッシアンと勾配が生成するクリロフ部分空間上に、ランチョス三重対角化を用いて低ランクヘッシアン近似を構築する。
• クリロフ部分空間上でヘッシアン近似 ${{\bf H}}_k$ と一致するが、直交補空間上でわずかなシフトを加えることで正定値対称行列 $\tilde{{\bf H}}_k$ を定義し、逆行列の存在を保証する。
• 探索方向を ${{\bf x}}_{k+1} = \Pi_{\|\cdot\|_{\tilde{{\bf H}}_k}}({{\bf x}}_k - \mu_k {{\bf H}}_k^{-1} \nabla f({{\bf x}}_k))$ として計算する。ここで、投影は $\tilde{{\bf H}}_k$-誘導ノルムを用いる。
• 低ランク構造を活用する内点法により投影部分問題を解き、変数数に比例して計算コストがスケーリングされることを保証する。
• 2つの変種を導入：1つはアクティブ集合の推定値を用いてヘッシアン近似を改善するもの、もう1つは変数の分割を変更することでアクティブ集合の特定を精緻化するもの。
• 共役勾配法における解の許容誤差を適応的に厳しくするための強制列を導入し、最適解に近づくに従い精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低ランクヘッシアン近似を用いる射影ニュートン・クリロフ法は、最小限の関数および勾配評価で大規模な境界制約付き最適化において高速収束を達成できるか？
• RQ2 探索方向と投影ステップの両方でヘッシアンに由来するメトリクスを一貫して用いることで、二メトリックまたは対角メトリックスキームと比較して収束が向上するか？
• RQ3 ヘッシアンが低ランク構造で近似される場合、二次投影部分問題を線形計算量で効率的に解くことができるか？
• RQ4 アクティブ集合の推定値をヘッシアン近似に組み込むことで、収束速度と最終的最適性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 投影部分問題の解法に高精度の内点法を用いる場合、実行時間と収束品質のトレードオフはどのようなものか？

主な発見

• PNKH-B は、特に初期数反復において、最先端の射影ニュートン・CG法よりも高速な初期収束を達成しており、ヘッシアンに由来するメトリクスの一貫性が要因である。
• 投影部分問題を解く内点法は、変数数に比例して線形にスケーリングされ、大規模な二次計画問題を解くにもかかわらず、追加計算コストはほとんど無視できる。
• 画像再構成実験では、アクティブ集合推定を用いた PNKH-B が $10^{-11}$ の投影勾配ノルムを達成し、ベースライン手法と比較して再構成品質が著しく向上した。
• 変数分割を用いた PNKH-B の実行時間は、PNCG の約2倍であったが、これは非常に低い内点法の許容誤差（$10^{-16}$）に起因する。しかし、画像品質の向上は見られず、許容誤差を緩めることで短縮可能であった。
• PDEパrameter推定実験では、境界インデックスおよび拡張インデックスの変種を用いた PNKH-B が、それぞれ $10^{-7}$ および $10^{-11}$ の勾配ノルムを達成し、収束の堅牢性を示した。
• 本手法は、必要な投影回数を減らす一方で、最終的な目的関数値および投影勾配ノルムが競争力を持つことを維持しており、反復あたりの効率性が向上していることが示された。