[論文レビュー] POD-Galerkin Model Order Reduction for Parametrized Nonlinear Time Dependent Optimal Flow Control: an Application to Shallow Water Equations

Maria Strazzullo, Francesco Ballarin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 72被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、浅水域方程式に従うパラメータ化された非線形時変動最適制御問題（OCP）を対象として、PODガレルキン低次元モデル（ROM）を提案する。この手法により、高速かつ高精度な解の追跡が可能になる。全次元最適性系を、適切な直交分解（POD）によって構築された低次元空間に射影することにより、計算コストを大幅に削減しながらも精度を保持する。数値的実験では、期待される速度分布および水深分布の再現が確認された。

ABSTRACT

In this work we propose reduced order methods as a reliable strategy to efficiently solve parametrized optimal control problems governed by shallow waters equations in a solution tracking setting. The physical parametrized model we deal with is nonlinear and time dependent: this leads to very time consuming simulations which can be unbearable e.g. in a marine environmental monitoring plan application. Our aim is to show how reduced order modelling could help in studying different configurations and phenomena in a fast way. After building the optimality system, we rely on a POD-Galerkin reduction in order to solve the optimal control problem in a low dimensional reduced space. The presented theoretical framework is actually suited to general nonlinear time dependent optimal control problems. The proposed methodology is finally tested with a numerical experiment: the reduced optimal control problem governed by shallow waters equations reproduces the desired velocity and height profiles faster than the standard model, still remaining accurate.

研究の動機と目的

• 海岸海洋モデリングにおけるパラメータ化された非線形時変動最適制御問題（OCP）の高い計算コストを低減すること。
• 環境・海洋科学分野の重要なモデルであるパラメータ化された浅水域方程式（SWE）における解の追跡のための低次元モデル（ROM）を開発すること。
• 鞍部構造と非アフィン項を有する非線形・時変動OCPの低次元化における課題を克服すること。
• 海洋環境監視におけるリアルタイム応用を想定し、複数のパrametricな設定を高速かつ信頼性高くシミュレートできるようにすること。
• 浅水域方程式（SWE）をはるかに超える、他のパラメータ化された非線形時変動OCPに対しても適用可能な一般化可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 二次的コスト関数を伴う、浅水域方程式（SWE）に従うパラメータ化された最適制御問題を定式化する。
• 空間時間有限要素法を用いて問題を離散化し、鞍部構造を持つ大規模な線形系が得られる。
• 適切な直交分解（POD）を用いて、全次元モデルのスナップショット解から低次元基底を生成する。
• 状態変数、随伴変数、制御変数の各々に対して、低次元空間を統合的に構築することで、低次元最適性系の可解性を保証する。
• 全次元最適性系にガレルキン射影を適用し、低次元系を導出する。この際、鞍部構造が保持される。
• 非アフィンな非線形項を低次元状態で効率的に処理するため、アフィン分解を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PODガレルキンROMは、浅水域方程式に従うパラメータ化された非線形時変動最適制御問題の計算コストを効果的に低減できるか？
• RQ2 低次元モデルは、海岸海洋分野の解の追跡において、顕著な高速化を達成しながらも、精度を維持できるか？
• RQ3 統合された低次元空間の使用は、低次元最適性系の可解性および安定性にどのような影響を与えるか？
• RQ4 パrametricな変動下において、期待される速度分布および水深分布の回復性能はいかがなっているか？
• RQ5 提案されたROMフレームワークは、SWEをはるかに超える、他の非線形時変動PDE制約付き最適制御問題へ一般化可能か？

主な発見

• 低次元モデルは、全次元モデルと同等の高精度で、期待される速度分布および水深分布を再現できた。
• 低次元最適制御問題の解法に要する計算時間は、全次元モデルに比べて顕著に短縮されており、複数のパrametric設定の高速なシミュレーションが可能になった。
• 統合された低次元空間の使用により、鞍部構造を有する低次元最適性系の可解性が保証された。
• 低次元化後も、全次元系と同様に鞍部構造が保持された。これは、安定性および収束性にとって極めて重要である。
• 本ROMフレームワークは、非線形的かつ時変動的で、パラメータ化されたPDE制約付き最適制御問題に対して有効であり、定常状態や線形系に限定されない。
• 数値実験により、低次元モデルが計算コストを著しく削減しながらも、高い精度を維持することが確認された。このため、リアルタイム環境監視応用に適している。