[論文レビュー] POD-Galerkin reduced order methods for combined Navier-Stokes transport equations based on a hybrid FV-FE solver

Saray Busto, Giovanni Stabile+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 50被引用数 34

ひとこと要約

本稿では、非定常非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と輸送方程式を結合したPODガレルキン低次元モデル（ROM）を提示する。非構造格子上での混合有限体積/有限要素（FV-FE）法に基づくスチールドメッシュ上で、FVとFEの二重メッシュに別々の低次元基底空間を用いる。運動量方程式はFVフレームワークに整合して投影され、圧力はポアソン方程式を介して再構築され、3次元のマニュフェイクチャードベンチマークおよびキャビティ流れベンチマークにおいて、主要変数の相対誤差が1%未塔の高い精度を達成した。

ABSTRACT

The purpose of this work is to introduce a novel POD-Galerkin strategy for the hybrid finite volume/finite element solver introduced in Berm\\'udez et al. 2014 and Busto et al. 2018. The interest is into the incompressible Navier-Stokes equations coupled with an additional transport equation. The full order model employed in this article makes use of staggered meshes. This feature will be conveyed to the reduced order model leading to the definition of reduced basis spaces in both meshes. The reduced order model presented herein accounts for velocity, pressure, and a transport-related variable. The pressure term at both the full order and the reduced order level is reconstructed making use of a projection method. More precisely, a Poisson equation for pressure is considered within the reduced order model. Results are verified against three-dimensional manufactured test cases. Moreover a modified version of the classical cavity test benchmark including the transport of a species is analysed.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と輸送方程式を結合した低次元モデル（ROM）を、高い計算効率で開発すること。
• スチールドメッシュ離散化を用いた混合有限体積/有限要素（FV-FE）法に、PODガレルキン法を拡張すること。
• FOMとROMの整合性を保つために、二重メッシュ構造を維持し、FVとFE空間間の基底写像を可能にする。
• 不圧縮性制約に基づくポアソン方程式を用いてROMにおける圧力再構築を高精度に実現し、安定性と精度を向上させること。
• 変数を伴う非定常な設定下で、修正されたリフトドライブキャビティを含む3次元ベンチマーク問題に対してROMを検証すること。

提案手法

• 完全次元モデルは、スチールドメッシュ上での混合FV-FE法を用い、時間ステップを2段階に分けて運動量、連続の式、輸送方程式を解く。
• 固有直交分解（POD）を、それぞれのFVメッシュ（速度）およびFEメッシュ（圧力、種物質）上に別々に適用し、低次元基底関数を生成する。
• FVメッシュ（速度）とFEメッシュ（圧力、種物質）上で独立に低次元基底空間を構築し、完全次元モデルの解法の構造により、基底間の写像を可能にする。
• 運動量方程式のガレルキン射影を、FV離散化に整合する形で定式化し、保存則を保持する。
• 不圧縮性制約から導かれるポアソン方程式を用いてROMにおける圧力を再構築し、FVMフレームワークと整合性を保つ。
• 非同次境界条件は、低次元解の精度を維持するためにリフト関数を用いて取り扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元非圧縮性流れ問題において、スチールドメッシュを用いた混合FV-FE法に、PODガレルキンROMを効果的に構築できるか。
• RQ2 混合解法フレームワークにおいて、有限体積法と有限要素法のメッシュ間で、低次元基底関数を一貫して定義・写像する方法は何か。
• RQ3 ROMにおける圧力再構築にポアソン方程式を用いることで、標準的な射影法と比較して、精度と安定性に与える影響は何か。
• RQ4 パrametrizedな非定常状態下で、ROMは複雑な流れのダイナミクスと種物質輸送をどれほど的確に捉えることができるか。
• RQ5 ナビエ＝ストークス方程式と輸送方程式が結合された問題において、大幅に自由度を削減した状態でも、ROMは高い精度を維持できるか。

主な発見

• 3次元マニュフェイクチャードテストケースにおいて、ROMは全時間ステップで速度、圧力、種物質場の相対誤差が1%未塔の高い精度を達成した。
• 圧力場は速やかに固有値が減少し、99%の累積エネルギーを達成するにはわずか9モードで十分であった。
• 種物質場は固有値の急激な減少を示し、少数のモードで十分に再構築可能であることが裏付けられたが、t=5sでわずかに大きさが低減する傾向が観察された。
• 速度場の相対誤差が最も高くなるのは初期時刻であり、これは高い速度変動性に起因すると考えられ、非一様なスナップショット分布が精度向上に寄与する可能性がある。
• 修正されたリフトドライブキャビティベンチマークにおいて、ROMは主な流れの特徴と種物質輸送のパターンを的確に捉え、全変数および全時間点でFOMと良好な一致を示した。
• ポアソン方程式による圧力再構築は、特に複雑な流れ構造を有する状況下で、標準的な射影法と比較して整合性と精度を顕著に向上させた。