[論文レビュー] Poincaré Analysis for Hybrid Periodic Orbits of Systems with Impulse Effects under External Inputs.

Sushant Veer, Rakesh Rakesh+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2017

Robotic Locomotion and Control参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、インパルス効果を有するハイブリッドシステムにおける周期軌道の入出力状態安定性（ISS）と、対応する強制ポアンカレ写像における固定点のISSとの間の厳密な同等性を確立する。強制ポアンカレ写像を導入し、弱い入力仮定のもとでISS推定を導出することで、著者たちは古典的なポアンカレ解析を軌道的ISSへと拡張し、指数的安定性の同等性を回復させ、リミットサイクルロボットなどの系におけるロバスト制御設計を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we investigate the relation between robustness of periodic orbits exhibited by systems with impulse effects and robustness of their corresponding Poincar\'e maps. In particular, we prove that input-to-state stability (ISS) of a periodic orbit under external excitation in both continuous and discrete time is equivalent to ISS of the corresponding 0-input fixed point of the associated \emph{forced} Poincar\'e map. This result extends the classical Poincar\'e analysis for asymptotic stability of periodic solutions to establish orbital input-to-state stability of such solutions under external excitation. In our proof, we define the forced Poincar\'e map, and use it to construct ISS estimates for the periodic orbit in terms of ISS estimates of this map under mild assumptions on the input signals. As a consequence of the availability of these estimates, the equivalence between exponential stability (ES) of the fixed point of the 0-input (unforced) Poincar\'e map and ES of the corresponding orbit is recovered. The results can naturally be applied to continuous-time systems as well. Although our motivation for extending classical Poincar\'e analysis to address ISS stems from the need to design robust controllers for limit-cycle walking and running robots, the results are applicable to a much broader class of systems that exhibit periodic solutions.

研究の動機と目的

• インパルス効果を有するハイブリッドシステムにおける周期軌道のロバスト性と、外部入力下での対応するポアンカレ写像の安定性との間の理論的リンクを確立すること。
• 従来、漸近的安定性に限定されていた古典的ポアンカレ解析を、外部励起下での周期的解に対する入出力状態安定性（ISS）へと拡張すること。
• 強制ポアンカレ写像を用いたフレームワークを構築し、写像の固定点のISS特性に基づいて周期軌道のISS推定を可能にする。
• 0入力ポアンカレ写像固定点の指数的安定性と、対応する周期軌道の指数的安定性との同等性を、ISSフレームワーク内で回復すること。
• 連続時間系および周期的解を示す広範なクラスの系に適用可能な一般化可能な手法を提供すること、特に二足歩行ロボットにおけるロバスト制御を目的とする。

提案手法

• 著者たちは、外部入力下でのインパルス発生時におけるシステム状態の進化をモデル化するため、新たな数学的構成である「強制ポアンカレ写像」を定義する。
• 入力信号にやや弱い正則性条件を仮定したもとで、強制ポアンカレ写像のISS特性を活用して周期軌道のISS推定を導出する。
• 証明により、入力信号にやや弱い仮定を課したもとで、周期軌道のISSと強制ポアンカレ写像の0入力固定点のISSとの同等性が確立される。
• 周期軌道をポアンカレ写像枠組み内での固定点に写像する座標変換を構築することで、安定性解析を標準的な固定点手法により可能にする。
• 離散的ダイナミクスを連続的流れの文脈に埋め込むことで、この手法が連続時間系へ自然に拡張できることを示す。
• 線形化された強制ポアンカレ写像の固有値特性を解析することで、指数的安定性同等性を回復するフレームワークを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インパルス効果を有するハイブリッドシステムにおける周期軌道の入出力状態安定性（ISS）は、強制ポアンカレ写像の対応する固定点のISSと同等であるか？
• RQ2 古典的ポアンカレ解析は、外部励起下での軌道的ISSを特徴づけるために拡張可能か？
• RQ3 強制ポアンカレ写像のISS推定から、周期軌道のISS推定が導かれる条件は何か？
• RQ4 強制ポアンカレ写像フレームワークは、0入力写像と周期軌道との間の指数的安定性同等性をどのように回復可能にするか？
• RQ5 このフレームワークは、連続時間系およびより広範な周期的系のクラスに、どの程度適用可能か？

主な発見

• 外部入力下における周期軌道の入出力状態安定性（ISS）は、強制ポアンカレ写像の対応する0入力固定点のISSと同等である。
• 強制ポアンカレ写像により、入力にやや弱い仮定を課したもとで、写像の固定点のISS特性に基づいて周期軌道のISS推定が導出可能である。
• ISSフレームワーク内において、0入力ポアンカレ写像固定点の指数的安定性と周期軌道の指数的安定性との同等性が回復された。
• 離散的ダイナミクスを連続的流れ構造に埋め込むことで、提案手法は連続時間系に適用可能である。
• 本フレームワークは、リミットサイクル歩行ロボットなどの周期的解を示す系の制御器設計に、ロバストな解析的基盤を提供する。
• 本結果は、二足歩行ロボットにとどまらず、インパルス効果を有する周期的挙動を示す広範なクラスの系へ一般化可能である。