[論文レビュー] Poincar{é} and Sobolev inequalities for differential forms in Heisenberg groups

Annalisa Baldi, Bruno Franchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非等方的スケーリングにおけるスケール不変性を回復するためのリューミンの複体を用いて、ヘイゼンベルク群上の微分形式に対する鋭いポincareおよびソボレフ不等式を確立する。主な貢献は、有界幾何的接触多様体上のリューミン複体に対するグローバルホモトピー公式であり、解の正則性を向上させ、$d_c$-閉形式に対する最適な$L^p$推定を可能にする。

ABSTRACT

Poincar{é} and Sobolev inequalities for differential forms on Heisenberg balls, involving Rumin's differentials, are given. Furthermore, a global homotopy of Rumin's complex which improves differentiability of Rumin forms is provided on any bounded geometry contact manifold.

研究の動機と目的

• 標準的なde Rham複体におけるスケール不変性の欠如に起因する問題を解消し、ヘイゼンベルク群上の微分形式に対して$L^p$-ポincareおよびソボレフ不等式を確立すること。
• 非ユークリッド幾何と非等方的スケーリングに起因する、部分リーマン多様体上での標準的ソボレフおよびポincare不等式の破綻を克服すること。
• 有界幾何的接触多様体上でのリューミン複体に対するグローバルホモトピー公式を構成し、$d_c\phi = \omega$の解の微分可能性を向上させること。
• 解作用素$T_M$および誤差項$S_M$の定量的推定をソボレフノルムの観点から行い、$L^p$およびソボレフ空間における連続性を保証すること。
• ホモトピー作用素の正則化性を証明することで、部分リーマン接触多様体への$L^p$-コhomologicalツールの適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 接触多様体上に定義される2階微分複体であるリューミン複体を用いる。これは、商束と annihilator 束を組み合わせることで、非等方的スケーリング$\delta_t$におけるスケール不変性を回復する。
• 有限個の接触チャートによる被覆に下部の partition of unity を適用し、問題を局所化する。各チャートはヘイゼンベルク球に微分同相である。
• リューミンの微積分を用いて定義される作用素$T$および$S$の引き戻しを用いて、各ヘイゼンベルクチャート上に局所ホモトピー公式を構成し、$d_c T + T d_c + S = I$ を満たすようにする。
• 局所作用素を partition of unity で結合して、グローバルホモトピー作用素$T_M = \sum_{i=0}^{k-1} S^i T$ を定義し、誤差項$S_M = S^k$ を得る。これにより正則化性が保証される。
• 局所推定と多様体の有界幾何的性質を用いて、$T_M$および$S_M$が$L^p$およびソボレフ空間$W^{m,p}$の間で連続であることを確立する。
• モデル空間上では$\phi_j^\# \alpha$と$\|\alpha\|_{W^{m,p}}$が等価である（$-k \leq m \leq k$）ため、推定をモデル空間から移行可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 de Rham複体の代わりにリューミン複体を用いることで、ヘイゼンベルク群上の微分形式に対してポincareおよびソボレフ不等式を確立できるか？
• RQ2 有界幾何的接触多様体上でのリューミン複体に対するグローバルホモトピー公式をどのように構成すれば、$d_c\phi = \omega$の解の正則性を向上させられるか？
• RQ3 ホモトピー分解$I = d_c T_M + T_M d_c + S_M$における解作用素$T_M$および誤差項$S_M$の最適な$L^p$-ソボレフ推定は何か？
• RQ4 $S_M = S^k$の正則化性が、ソボレフ空間における解の微分可能性をどの程度向上させるか？
• RQ5 $T_M$および$S_M$の連続性は、形式の次数$h$および臨界次数$h = n$および$h = n+1$にどのように依存するか？

主な発見

• 任意の有界な$C^k$-幾何的部分リーマン接触多様体（$k \geq 2$）に対して、恒等作用素は$I = d_c T_M + T_M d_c + S_M$に分解され、ここで$T_M = \sum_{i=0}^{k-1} S^i T$および$S_M = S^k$であることを証明する。
• 解作用素$T_M$は、$h \neq n$のとき$W^{-1,p}(M,E_0^{h+1})$から$L^p(M,E_0^h)$へ、$h = n$のとき$W^{-2,p}(M,E_0^{n+1})$から$L^p(M,E_0^n)$へ写像し、弱解の制御を可能にする。
• $h \neq n+1$のとき$T_M$は$L^p(M,E_0^h)$から$W^{1,p}(M,E_0^{h-1})$へ、$h = n+1$のとき$L^p(M,E_0^{n+1})$から$W^{2,p}(M,E_0^n)$へ写像し、正則性の向上を示す。
• 誤差項$S_M$は$L^p(M,E_0^h)$から$W^{k,p}(M,E_0^h)$へ写像し、多様体の$C^k$-正則性と整合する最大の正則化性を示す。
• $T_M$および$S_M$の連続性は、ヘイゼンベルクチャート上の局所推定と、引き戻しにおけるソボレフノルムの等価性、および有界幾何の仮定を用いて確立される。
• 結果は、ホモトピー公式のおかげで、ヘイゼンベルク球上での$G^p$-ソボレフおよびポincare不等式にまで拡張可能であり、定数は領域のサイズに依存しない。