[論文レビュー] Poincaré duality for loop spaces

Kai Cieliebak, Nancy Hingston+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ループ空間におけるラビノヴィッツ・フローリングホモロジーとコホモロジーの間で、Poincaré双対性を確立し、それらが順序付きFrobenius代数をなすことを示している。これは、閉じた測地線、臨界レベル、Bott反復、レベル・パワーに関する長年のパズルを、シンプレクティック幾何学的枠組みを通じて統一的に解き明かし、Chas-Sullivanのループ積とGoresky-Hingstonのコホモロジー積の間のSullivanの予想された関係を証明する。

ABSTRACT

We show that Rabinowitz Floer homology and cohomology carry the structure of a graded Frobenius algebra for both closed and open strings. We prove a Poincaré duality theorem between homology and cohomology that preserves this structure. This lifts to a duality theorem between graded open-closed TQFTs. We use in a systematic way the formalism of Tate vector spaces. Specializing to the case of cotangent bundles, we define Rabinowitz loop homology and cohomology and explain from a unified perspective pairs of dual results that have been observed over the years in the context of the search for closed geodesics. These concern critical levels, relations to the based loop space, manifolds all of whose geodesics are closed, Bott index iteration, and level-potency. Moreover, the graded Frobenius algebra structure gives meaning and proof to a relation conjectured by Sullivan between the loop product and coproduct.

研究の動機と目的

• ループ空間作用における非対称性と双対性に関する、ストリングトポロジーにおける長年のパズルを解消すること。
• 臨界レベル、Bottインデックス反復、レベル・パワーを含む、閉じた測地線理論における双対的結果を統一する枠組みを確立すること。
• Rabinowitz Floerホモロジーとコホモロジーが、双対性を保つ順序付きFrobenius代数をなすことを証明すること。
• Chas-Sullivanのループ積とGoresky-Hingstonのコホモロジー積を、シンプレクティック幾何学的解釈として双対構造として関連付けること。
• Rabinowitz Floerホモロジーの文脈において、ループ積とコプロダクトの間のSullivanの関係が双対性同型を介して成り立つことを検証すること。

提案手法

• Liouville多様体の境界に、次数$-n$のパンツ積を備えた、Rabinowitz Floerホモロジーを新たな代数的構造として導入する。
• パンツ積と双対性同型を用いて、Rabinowitz Floerホモロジーが順序付きFrobenius代数構造を有することを証明する。
• Rabinowitz Floerホモロジーとコホモロジーの間のPoincaré双対性同型を確立し、Frobenius代数構造を保つことを示す。
• 余接 bundle に特化して、Rabinowitzループホモロジーとコホモロジーを定義し、シンプレクティック不変量とループ空間トポロジーを結びつける。
• シンプレクティックホモロジー、Rabinowitz Floerホモロジー、通常のシンプレクティックホモロジーを関連付ける長完全系列を用いて、双対性の結果を導出する。
• Bottインデックス反復と平均インデックス公式を適用し、ホモロジーとコホモロジーにおける臨界レベルを関連づけ、双対不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ積（すべての$\Lambda$上で定義）とループコプロダクト（定数ループを相対的に定義）の間の非対称性は、統一的代数的構造によって解消可能か？
• RQ2 コホモロジー積$\oast$は、ループ積$\bullet$から導かれる2次的積として、厳密に解釈可能か？
• RQ3 閉じた測地線理論における双対的結果のペア（例：臨界レベル不等式、Bottインデックス反復）を説明する統一的双対性原理が存在するか？
• RQ4 Sullivanが予想した関係式$\lambda\mu = (1\otimes\mu)(\lambda\otimes1) + (\mu\otimes1)(1\otimes\lambda)$は、明確な代数的枠組みで成り立つか？
• RQ5 Rabinowitz Floer理論におけるホモロジーとコホモロジーの双対性は、オープン・クローズドTQFTの間の双対性に引き上げ可能か？

主な発見

• Rabinowitz Floerホモロジーとコホモロジーは、Poincaré双対性がこの構造を保つ順序付きFrobenius代数をなす。
• ホモロジーとコホモロジーの間の双対性同型は、オープン・クローズドトポロジカル量子場理論の間の双対性に引き上げられる。
• 余接バンドルに対して、理論はRabinowitzループホモロジーとコホモロジーを定義し、閉じた測地線に関する双対的結果を統一する。
• 臨界レベル不等式$\mathrm{Cr}(X\bullet Y)\leq\mathrm{Cr}(X)+\mathrm{Cr}(Y)$と$\mathrm{cr}(x\oast y)\geq\mathrm{cr}(x)+\mathrm{cr}(y)$は、同一の双対性原理から生じることを示した。
• Bottインデックス反復の公式は双対性から導出され、ホモロジー類の次数$k$に対して$\overline{\mathrm{ind}}(c) = k+n-1$、コホモロジー類に対して$\overline{\mathrm{ind}}(c) = k-n$となることを示した。
• Sullivanのループ積とコプロダクトの間の関係は、双対性同型を介して証明され、コプロダクトがPoincaré双対性の下で積の双対として生じることを示した。