[論文レビュー] Poincaré inequalities and quasiconformal structure on the boundary of some hyperbolic buildings

Marc Bourdon, Hervé Pajot|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 1997

Analytic and geometric function theory参考文献 2被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、双曲的ビルディング $\partial I_{p,q}$ の境界上で弱い (1,1)-Poincaré 不等式を確立し、それが Loewner 空間であることを証明する。Heinonen-Koskela の理論を用いることで、$\partial I_{p,q}$ の任意の自己準同型がクワイシリスメトリックであることが示され、Heinosen と Semmes が提起した、メトリック空間におけるクワイシリスメトリック構造とクワイコンフォーマル構造の同値性に関する2つの問いに否定的であると解決する。

ABSTRACT

In this paper we shall show that the boundary $\partial I_{p,q}$ of the hyperbolic building $I_{p,q}$ considered in M. Bourdon, \emph{Immeubles hyperboliques, dimension conforme et rigidité de Mostow} (Geometric And Functional Analysis, Vol 7 (1997), p 245-268) admits Poincaré type inequalities. Then by using Heinonen-Koskela's work, we shall prove Loewner capacity estimates for some families of curves of $\partial I_{p,q}$ and the fact that every quasiconformal homeomorphism $f : \partial I_{p,q} \longrightarrow \partial I_{p,q}$ is quasisymetric. Therefore by these results, the answers to certain questions of Heinonen and Semmes are NO.

研究の動機と目的

• 双曲的ビルディング $I_{p,q}$ の境界 $\partial I_{p,q}$ における Poincaré 不等式を確立する。$I_{p,q}$ は、特定の幾何的・組合的に構造を持つ CAT(-1) 空間である。
• 弱い (1,1)-Poincaré 不等式を証明することで、$\partial I_{p,q}$ が Loewner 空間であることを示す。これは、曲線族のモジュラスを制御する。
• すべてのクワイコンフォーマル自己同相写像 $f: \partial I_{p,q} \to \partial I_{p,q}$ がクワイシリスメトリックであることを証明する。これにより、Heinonen と Semmes の質問 19 および 20 に否定的であると回答する。
• $\partial I_{p,q}$ のコンフォーマル次元とアーフォルス正則性を特徴づける。この境界メトリック空間のハウスドルフ次元は $Q_{p,q} = 1 + \frac{\log(q-1)}{\text{arccosh}((p-2)/2)}$ である。
• ツリーに類似した構造と Gromov 積を用いた幾何的・測度論的枠組みを提供し、$\partial I_{p,q}$ 上の曲線族とメトリック挙動を分析する。

提案手法

• $\partial I_{p,q}$ を、正 $p$-角形の部屋とサイズ $q+q$ の完全二部グラフの頂点リンクを持つ CAT(-1) ビルディングの境界として幾何的モデル化する。
• $\partial I_{p,q}$ 上に自然な距離 $\delta_{p,q}$ を定義し、それが測地的で、次元 $Q_{p,q}$ のアーフォルス正則であり、メルゲンの普遍曲線と同相であることを保証する。
• ビルディングの 1 スケルトンのツリーに類似した構造を用いて、測地線の系列に関連する水平超曲面 $H_t$ 上に確率測度 $\gamma_t$ の族を構成する。
• Fubini の定理と最大関数の推定を適用し、関数 $u$ の振動を、その非常に弱い勾配 $\rho$ の $L^1$ ノルムに関連付ける。
• 組合的に定義された Gromov 積 $\{\cdot|\cdot\}_x$ を用いて、集合 $H_t$ の測度を推定し、距離比 $\delta_x(\xi,t)\delta_x(t,\eta)/\delta_x(\xi,\eta)$ に結びつける。
• 関数 $\varphi_l(t) = \min(t, l-t)$ を含む実解析の補題を適用し、$\rho$ の最大関数に依存する $u$ の平均的振動を制御することで、Poincaré 不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的ビルディング $I_{p,q}$ の境界 $\partial I_{p,q}$ は弱い (1,1)-Poincaré 不等式を満たすか？
• RQ2 $\partial I_{p,q}$ は Loewner 空間であるか？すなわち、非退化なコンパクト集合を結ぶ曲線族のモジュラスが一様に下から有界か？
• RQ3 $\partial I_{p,q}$ のすべてのクワイコンフォーマル自己同相写像は、必然的にクワイシリスメトリックか？
• RQ4 $\partial I_{p,q}$ のコンフォーマル次元は、そのハウスドルフ次元 $Q_{p,q}$ と一致するか？
• RQ5 ツリーに基づく測度と Gromov 積を用いて、$\partial I_{p,q}$ のメトリック構造を分析し、Poincaré 型不等式を導出できるか？

主な発見

• 境界 $\partial I_{p,q}$ は、定数 $C_0 > 0$ および $C_1 > 0$ を用いて弱い (1,1)-Poincaré 不等式を満たす。これにより、関数の $L^1$-振動がその非常に弱い勾配の $L^1$-ノルムによって制御される。
• すべてのクワイコンフォーマル自己同相写像 $f: \partial I_{p,q} \to \partial I_{p,q}$ は、Poincaré 不等式によって確立された Loewner 性質のおかげでクワイシリスメトリックである。
• $\partial I_{p,q}$ は Loewner 空間である。非退化なコンパクト集合を結ぶ曲線族のモジュラスは、それらのコンパクト集合の相対的距離にのみ依存する正の定数によって一様に下から有界である。
• ハウスドルフ次元 $Q_{p,q} = 1 + \frac{\log(q-1)}{\text{arccosh}((p-2)/2)}$ は、$\partial I_{p,q}$ の Pansu コンフォーマル次元と一致し、ハウスドルフ測度 $\mu_{p,q}$ は次元 $Q_{p,q}$ についてアーフォルス正則である。
• 証明の鍵となる推定は、$\gamma_t(H_t) \asymp \left( \frac{\delta_x(\xi,t)\delta_x(t,\eta)}{\delta_x(\xi,\eta)} \right)^{Q_{p,q}-1}$ である。これは水平超曲面の測度を Gromov 積と距離比に関連付ける。
• Poincaré 不等式と Heinonen-Koskela の特徴づけを組み合わせることで、著者らは Heinosen と Semmes の質問 19 および 20 に対する答えが「いいえ」であると結論づける。一般のメトリック空間ではクワイコンフォーマル写像が必ずしもクワイシリスメトリックではない。これは、一部の古典的設定では予想されていたものとは逆である。