[論文レビュー] Poincaré Sobolev equations in the Hyperbolic space

Mousomi Bhakta, K. Sandeep|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、双曲空間 $\mathbb{B}^N$ 上の Poincaré-Sobolev 方程式 $-\Delta_{\mathbb{B}^N}u - \lambda u = |u|^{p-1}u$ の径数の符号変化解を調査し、事前推定、Palais-Smale 条件の特徴付け、存在／非存在結果を確立する。同様に、等長埋め込みを用いて双曲的設定へと関連づけられ、最適なパrameter 範囲におけるコンパクト性と変分法を活用することで、Hardy-Sobolev-Mazya 方程式および臨界定格 Grushin 方程式に対する符号変化解の存在を示している。

ABSTRACT

We study the a priori estimates,existence/nonexistence of radial sign changing solution, and the Palais-Smale characterisation of the problem $-\De_{\Bn}u - \la u = |u|^{p-1}u, u\in H^1(\Bn)$ in the hyperbolic space $\Bn$ where $1

研究の動機と目的

• 双曲空間 $\mathbb{B}^N$ における方程式 $-\Delta_{\mathbb{B}^N}u - \lambda u = |u|^{p-1}u$ のための事前推定および Palais-Smale 条件を分析すること。
• 制約 $1 < p \leq \frac{N+2}{N-2}$ および $\lambda < \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ の下で、径数の符号変化解の存在および非存在を確立すること。
• 等長変換を介して、双曲的 Poincaré-Sobolev 問題と関連づけることにより、Hardy-Sobolev-Mazya 方程式および臨界定格 Grushin 方程式への結果を拡張すること。
• 符号変化解の文脈において、$\mathbb{B}^N$ 上の Palais-Smale 列のコンパクト性特性を特徴づけること。

提案手法

• 単位球モデルにおける双曲的ラプラシアン・ベルトラミー作用素 $\Delta_{\mathbb{B}^N}$ を用いる。その計量は $g_{ij} = \left(\frac{2}{1-|x|^2}\right)^2 \delta_{ij}$ で与えられる。
• Möbius 変換 $\tau_b$ を用いた等長埋め込みにより、$\mathbb{B}^N$ 上の解を、ユークリッド空間における Grushin および Hardy-Sobolev-Mazya 方程式の解と関連付ける。
• コンパクト性を保証するため、Poincaré-Sobolev 不等式 $S_{N,p,\lambda} \left(\int_{{\mathbb{B}}^{N}}|u|^{p}dV_{{\mathbb{B}}^{N}}\right)^{\frac{2}{p}} \leq \int_{{\mathbb{B}}^{N}}\left[|\nabla_{{\mathbb{B}}^{N}}u|^{2}-\frac{(N-1)^2}{4}u^2\right]dV_{{\mathbb{B}}^{N}}$ を用いてノルムを制御する。
• エネルギー汎関数 $I_\lambda(u) = \frac{1}{2}\int \left[|\nabla_{{\mathbb{B}}^{N}}u|^2 - \lambda u^2\right]dV_{{\mathbb{B}}^{N}} - \frac{1}{p+1}\int |u|^{p+1}dV_{{\mathbb{B}}^{N}}$ を用いて Palais-Smale 列を分析する。
• 反射および $\mathbb{B}^N$ の等長群（Möbius 変換 $\tau_b = \sigma_{b^*} \circ \rho_{b^*}$ を含む）を用いて解を構成し、対称性を分析する。
• 変換 $\Phi(r,z) = r^{\frac{Q-2}{2(1+\alpha)}} \varphi(r^{\frac{1}{1+\alpha}}, z)$ を適用し、Grushin 型方程式を $N = h+1$、$\lambda = \frac{1}{4}\left[h^2 - \left(\frac{k-2}{\alpha+1}\right)^2\right]$、$p = \frac{Q+2}{Q-2}$ の双曲的問題に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poincaré-Sobolev 方程式が $\mathbb{B}^N$ 上で径数の符号変化解を有するための条件は何か？
• RQ2 Palais-Smale 列のコンパクト性特性は、準臨界および臨界定格領域における解の存在にどのように影響するか？
• RQ3 等長埋め込みは、双曲的 Poincaré-Sobolev 問題と Hardy-Sobolev-Mazya 方程式および Grushin 方程式を結ぶ役割を果たすか？
• RQ4 何時 $u \in H^1_0(\mathbb{B}^N)$ を $u \in \mathcal{H}$ に置き換える必要があり、解の存在にどのような影響を与えるか？
• RQ5 特に $\lambda = \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ の場合に、符号変化解が存在する正確なパrameter 範囲は何か？

主な発見

• 本稿では、$1 < p < \frac{N+2}{N-2}$ および $\lambda < \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ の下で、$\mathbb{B}^N$ 上の Poincaré-Sobolev 方程式に対する符号変化解の存在を証明し、正の解に関する既知の結果を拡張している。
• 臨界定格ケース $p = \frac{N+2}{N-2}$ においては、$\frac{N(N-2)}{4} < \lambda < \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ かつ $N \geq 4$ のとき、符号変化解の存在が確立されている。
• $\lambda = \left(\frac{N-1}{2}\right)^2$ の場合、空間 $H^1_0(\mathbb{B}^N)$ は $\mathcal{H}$ に置き換えられ、これは $C_c^\infty(\mathbb{B}^N)$ の $\left(\int \left[|\nabla u|^2 - \frac{(N-1)^2}{4}u^2\right] dV_{\mathbb{B}^N}\right)^{1/2}$ による完備化である。
• 著者らは、適切な条件下で、エネルギー汎関数 $I_\lambda$ の Palais-Smale 列が前コンパクトであることを確立し、変分法による臨界点の存在を保証している。
• Hardy-Sobolev-Mazya 方程式に対する符号変化解の存在は、$v = w \circ M$（$M$ は $\mathbb{B}^N$ と上半空間モデル間の等長写像）を用いた変換により、双曲的問題と関連づけることで導出された。
• 臨界定格 Grushin 方程式に関しては、$p = \frac{Q+2}{Q-2}$ かつ $Q = k + h(1+\alpha)$ のとき、解が存在することを示しており、対応する双曲的問題では $\lambda = \frac{1}{4}\left[h^2 - \left(\frac{k-2}{\alpha+1}\right)^2\right]$ かつ $N = h+1$ となる。