[論文レビュー] Poincare and Heisenberg quantum dynamical symmetry: Casimir invariant field equations of the quaplectic group

Stephen G. Low|ArXiv.org|Feb 6, 2005

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ポアンカレ群とハイゼンベルク群の両方の対称性を統合する量子力学的対称性群としてのクアプレクティック群を提案し、半直積群のマッキー理論を用いて一般化された場の運動方程式を導出する。主な結果は、クライン=ゴルドン方程式に類似した相対論的調和振動子の場の運動方程式であり、力の上限を定める共役相対性原理と、非アーベルな位置-時間-運動量-エネルギー変換を含む。

ABSTRACT

The unitary irreducible representations of a Lie group defines the Hilbert space on which the representations act. If this Lie group is a physical quantum dynamical symmetry group, this Hilbert space is identified with the physical quantum state space. The eigenvalue equations for the representation of the set of Casimir invariant operators define the field equations of the system. The Poincare group is the archetypical example with the unitary representations defining the Hilbert space of relativistic particle states and the Klein-Gordon, Dirac, Maxwell equations are obtained from the representations of the Casimir invariant operators eigenvalue equations. The representation of the Heisenberg group does not appear in this derivation. The unitary representations of the Heisenberg group, however, play a fundamental role in nonrelativistic quantum mechanics, defining the Hilbert space and the basic momentum and position commutation relations. Viewing the Heisenberg group as a generalized non-abelian "translation" group, we look for a semidirect product group with it as the normal subgroup that also contains the Poincare group. The quaplectic group, that is derived from a simple argument using Born's orthogonal metric hypothesis, contains four Poincare subgroups as well as the normal Heisenberg subgroup. The general set of field equations are derived using the Mackey representation theory for general semidirect product groups.

研究の動機と目的

• 相対論的および非相対論的量子力学を統合する、ポアンカレ群とハイゼンベルク群の両方の量子力学的対称性を1つの群構造に統合すること。
• クアプレクティック群のCasimir不変量を用いて、ポアンカレ理論におけるクライン=ゴルドン方程式やディラック方程式に類似した場の運動方程式を導出すること。
• 力の上限を定める共役相対性原理を確立し、ローレンツ対称性を位置-時間および運動量-エネルギー部分空間へ一般化すること。
• 低相互作用極限においてクアプレクティック群がポアンカレ群に還元されることを示し、標準的な相対論的場の運動方程式が回復されることを示すこと。
• クアプレクティック群のユニタリ非可約表現から生じる離散的質量-スピンスペクトルの意味を検討すること

提案手法

• 半直積群のマッキー表現理論を適用し、クアプレクティック群のユニタリ非可約表現を導出する。
• ハイゼンベルク群を正規部分群とし、4つのポアンカレ部分群を含む構造としてクアプレクティック群を半直積として構成する。
• ボルンの直交計量仮説を用いて、同次的群Kの擬ユニタリ構造を導出し、クアプレクティック群を非同次シミレクティック群の部分群として得る。
• クアプレクティックリー代数のCasimir不変量の固有値方程式として一般場の運動方程式を導出する。
• 最も単純な場合として、相対論的調和振動子を同定し、本理論における基本的場の運動方程式とする。
• 群の縮約極限（例：b → ∞）を検討し、ポアンカレ群への還元および標準的相対論的場の運動方程式の回復を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアンカレ群とハイゼンベルク群を、1つの量子力学的対称性群に統合する方法は何か？
• RQ2 クアプレクティック群のCasimir不変量から導かれる場の運動方程式は何か？ それらはクライン=ゴルドン方程式やディラック方程式をどのように一般化するか？
• RQ3 力の上限を定める共役相対性原理の物理的意味は何か？ 位置-時間および運動量-エネルギー部分空間へのローレンツ対称性の一般化とはどのようなものか？
• RQ4 クアプレクティック群が低相互作用極限でどのようにポアンカレ群に還元されるか？ その場の運動方程式の対応する極限は何か？
• RQ5 クアプレクティック群のユニタリ非可約表現から生じる離散的質量-スピンスペクトルは何か？ それらは実験的にどのように検証可能か？

主な発見

• クアプレクティック群は4つのポアンカレ部分群と、正規部分群としてのハイゼンベルク群を含み、相対論的および非相対論的量子力学の統合的量子力学的対称性群を形成する。
• クアプレクティック群の場の運動方程式は、そのCasimir不変量の固有値方程式として導出され、最も単純な場合がクライン=ゴルドン方程式に類似した相対論的調和振動子方程式である。
• 本理論は、力の上限を定める共役相対性原理を導入し、ローレンツ対称性を位置-時間および運動量-エネルギーの非アーベル部分空間へ一般化する。
• 位置-時間空間はもはや不変部分空間ではなくなる。クアプレクティック変換は、位置、時間、運動量、エネルギーを含む完全な非アーベル位相空間に作用し、異なる観測者が異なる部分空間を測定する。
• クアプレクティック群のユニタリ非可約表現には、離散的質量およびスピン値（μₖ, sₖ）でラベル付けされた複数のポアンカレ非可約表現が含まれており、離散的質量-スピンスペクトルを示唆する。
• 極限b → ∞において、クアプレクティック群はポアンカレ群に還元され、その場の運動方程式も標準的相対論的場の運動方程式（クライン=ゴルドン、ディラック、マクスウェルなど）に還元される。