[論文レビュー] Poincare inequalities for inhomogeneous Bernoulli measures

Jeremy Quastel, Horng‐Tzer Yau|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ℤᵈ 上の非一様ベルヌーイ測度におけるグローバーおよびカワスキー過程のポincare不等式を確立する。ここで局所的スピン確率 px は 0 および 1 から一様に離れている。主な結果は、スペクトルギャップ定数が一様な場合と同程度のオーダーであるため、測度の非一様性にもかかわらず、均一な混合行動が保証されることである。

ABSTRACT

Abstract. We consider inhomogeneous Bernoulli measures of the form ∏ x∈Λ px where px are prescribed and uniformly bounded above and below away from 0 and 1. Poincare inequalities are proved for the Glauber and Kawasaki dynamics, with constants of the same order as in the homogeneous case. 1. Inhomogeneous Bernoulli measures. Let hx ∈ [−K, K], x ∈ Z d be given and let px = ehx 1 + ehx, x ∈ Z d. For any Λ ⊂ Z d the inhomogeneous Bernoulli measure µΛ(η) on {0, 1} Λ is given by µΛ(η) = ∏ x∈Λ p ηx x (1 − px) 1−ηx = Z −1 h,Λ exp{−Hh,Λ(η)}, Hh,Λ(η) = − ∑ hxηx. (1.1) Zh,Λ = ∏ x∈Λ (1 + ehx) is the normalization to make it a probability measure. We can also condition to have a fixed number N of particles in Λ, µh,Λ,N(η) = µh,Λ(η | ∑ ηx = N). For each configuration η with exactly N particles, µh,Λ,N(η) = Z −1 h,Λ,N exp{−Hh,Λ(η)} with Zh,Λ,N =

研究の動機と目的

• 非一様ベルヌーイ測度上の確率的ダイナミクスのスペクトルギャップおよび平衡への収束を分析すること。
• 空間的非一様性があるにもかかわらず、一様な場合と同程度のオーダーでポincare不等式定数が有界のまま保たれるかどうかを特定すること。
• 統計力学モデルにおけるスペクトルギャップ推定値を一様な状況から非一様な状況へと拡張すること。
• 外部場 hx ∈ [−K, K] がグローバーおよびカワスキー過程のエルゴード的性質に与える影響を調査すること。
• 固定粒子数 N における条件付き測度 µh,Λ,N に対する一様な推定値を確立すること。

提案手法

• 局所的確率 px が 0 および 1 から一様に離れていることを保証するように、非一様ベルヌーイ測度 µΛ(η) = ∏x∈Λ pηx x (1−px)1−ηx を定義する。ここで px = e hx / (1 + e hx) である。
• 測度を指数型分布族の形に書き換える：µΛ(η) = Z−1h,Λ exp{−Hh,Λ(η)} で、Hh,Λ(η) = −∑x hxηx である。
• 状態空間 {0,1}Λ 上でのグローバーおよびカワスキー過程の無限小生成作用素およびスペクトルギャップを分析する。
• hx および px に対する一様な上限を用いて、ダイナミクスのスペクトルギャップを評価するためのカップリングおよび比較技法を用いる。
• 無条件測度および条件付き測度の正規化定数をそれぞれ Zh,Λ および Zh,Λ,N として確立する。
• 非一様性に依存しない定数を有するポincare不等式を導出し、それが一様な場合と同程度のオーダーでスケーリングされることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的スピン確率 px が非一様的ではあるが 0 および 1 から一様に離れている場合、グローバー過程のスペクトルギャップは 0 から一様に離れるか？
• RQ2 外部場 hx が [−K, K] に属するという非一様性仮定のもとで、カワスキー過程のポincare不等式は、一様な場合と同程度のオーダーの定数で確立可能か？
• RQ3 外部場 hx ∈ [−K, K] が ℤᵈ 上の格子におけるダイナミクスの混合時間およびエルゴード性に与える影響は何か？
• RQ4 固定粒子数 N における条件付き測度 µh,Λ,N は非一様ベルヌーイ測度下でどのように振る舞い、一様なポincare不等式の境界を継承するか？
• RQ5 与えられた非一様性制約のもとで、系のサイズ Λ に一様に依存しないスペクトルギャップ推定値は得られるか？

主な発見

• グローバーおよびカワスキー過程のポincare不等式定数は、非一様性に依存せず、px の一様な下限にのみ依存する定数によって下から抑えられる。
• ダイナミクスのスペクトルギャップは一様な場合と同程度のオーダーであるため、平衡への収束が同程度に保たれる。
• 正規化定数 Zh,Λ = ∏x∈Λ (1 + e hx) により、与えられた制約のもとで測度が適切に定義され、一様に有界であることが保証される。
• 固定粒子数 N における条件付き測度 µh,Λ,N に対しても、一様な設定と同程度のオーダーのポincare不等式が成り立つ。
• 一様な非一様性のもとで結果は頑健である：定数は hx の空間的変動に依存せず、その上限にのみ依存する。
• 解析により、局所的スピン確率の非一様性がダイナミクスのエルゴード的性質を劣化させないことが確認された。