[論文レビュー] Poincare inequality and exponential integrability of the hitting times of a Markov process

Alexei Kulik|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、多様体上の対称楕円型拡散過程について、ポアンカーレ不等式と到達時間の指数的積分可能性の間の一対一対応を確立する。マチューの手法を拡張することで、ポアンカーレ不等式がコンパクト集合への到達時間の指数的モーメントを示し、逆に、正則性条件下では、到達時間の指数的積分可能性がポアンカーレ不等式を示すことを証明する。これにより、対称ケースにおけるスペクトルギャップ性質の経路に依存する特徴づけが得られる。

ABSTRACT

Extending the approach of the paper [Mathieu, P. (1997) Hitting times and spectral gap inequalities, Ann. Inst. Henri Poincare 33, 4, 437 -- 465], we prove that the Poincare inequality for a (possibly non-symmetric) Markov process yields the exponential integrability of the hitting times of this process. For symmetric elliptic diffusions, this provides a criterion for the Poincare inequality in the terms of hitting times.

研究の動機と目的

• 一般（非対称である可能性のある）マコフ過程について、マチュー（1997）の結果を拡張し、ポアンカーレ不等式がコンパクト集合への到達時間の指数的積分可能性を示すことを示すこと。
• 逆を証明する：追加の正則性仮定の下で、到達時間の指数的積分可能性がポアンカーレ不等式を示すこと。
• 到達時間のモーメント生成関数を用いて、対称楕円型拡散過程におけるポアンカーレ不等式の経路に依存する特徴づけを確立すること。
• 関数 $ E_x e^{\alpha \tau_K} $ の形をとるラプラシアン型関数が、対称拡散過程の場合にポアンカーレ不等式を検証するのに最適であることを示すこと。

提案手法

• 強マルコフ性とカックの公式を用いて、コンパクト集合およびその境界への到達時間の系列を通じて、モーメント生成関数 $ E_x e^{\alpha \tau_K} $ を評価する。
• 関数 $ h(x) = E_x e^{\alpha \tau_K} $ にハルナック不等式を適用し、ポアンカーレ不等式および局所非退化条件の下で、それが局所的に有界であることを示す。
• 入れ子になった集合の連続的到達時間 $ \sigma^k $ を通じたカップリング論法を用い、ドーブリン型条件を用いて到達時間プロセスの尾確率を評価する。
• 幾何的減少率 $ q^k $（$ q < 1 $）による生存確率の評価を通じて、$ t \in [0,S] $ における $ E_x e^{\tilde{\alpha} \tau_K^t} $ の一様可積分性を確立する。
• ディリクレ型形式の正則性および $ C_0({\mathbb{X}}) \cap Dom(\mathcal{E}) $ が $ L_2 $ および $ C_0({\mathbb{X}}) $ で稠密であることを用いて、ポアンカーレ不等式の極限における有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般マコフ過程について、ポアンカーレ不等式は到達時間の指数的積分可能性を示すか？
• RQ2 ポアンカーレ不等式は、コンパクト集合への到達時間のモーメント生成関数のみで完全に特徴づけられるか？
• RQ3 多様体上での対称楕円型拡散過程について、到達時間の指数的積分可能性とポアンカーレ不等式の間に一対一対応があるか？
• RQ4 関数 $ \phi(x) = E_x e^{\alpha \tau_K} $ は、対称ケースにおけるポアンカーレ不等式の十分かつ必要条件として機能するか？

主な発見

• ポアンカーレ不等式により、ある $ \alpha > 0 $ に対して $ \sup_{x \in K} E_x e^{\alpha \tau_K} < \infty $ が成り立ち、コンパクト集合 $ K $ への到達時間の指数的積分可能性が保証される。
• 対称楕円型拡散過程では、やや正則性および非退化条件の下で、ポアンカーレ不等式はコンパクト集合への到達時間の指数的積分可能性と同等である。
• 関数 $ \phi(x) = E_x e^{\alpha \tau_K} $ は局所的に有界であり、必要なラプラシアン型条件を満たしており、スぺクトルギャップを検証するためのカップリング技法の使用が可能である。
• 証明は、$ K \subset E \subset D $ の入れ子になった集合間の到達時間の幾何的カップリングに依存しており、$ q < 1 $ の減少率がモーメント生成関数の一様可積分性を保証する。
• 関数 $ h_N(x) = E_x e^{\alpha \tau_K} $ にハルナック不等式を適用し、$ h(x) $ が局所的に有界であり、ポアンカーレ不等式が成立するための必要な正則性を満たしていることが示される。