[論文レビュー] Poincare Series and instability of exponential maps

Peter Makienko, Guillermo Sienra|ArXiv.org|Jun 8, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ポアンカーレ級数の収束をジュリア集合上での不変ベルトラミ微分の非存在と結びつけることで、$ f_\lambda(z) = \exp(\lambda z) $ の族における指数関数的写像の不安定性の条件を確立する。もし特異値 0 が和分可能であり、後期的集合が位相的条件（例えばコンパクトまたは零測度）を満たしているならば、写像は不安定であり、ジュリア集合上に不変線形場が存在しないことが示され、ファトウ予想を支持する。

ABSTRACT

We relate the properties of the postsingular set for the exponential family to the questions of stability. We calculate the action of the Ruelle operator for the exponential family. We prove that if the asymptotic value is a summable point and its orbit satisfies certain topological conditions, the map is unstable hence there are no Beltrami differentials in the Julia set. Also we show that if the postsingular set is a compact set, then the singular value is summable.

研究の動機と目的

• ポアンカーレ級数および後期的集合の構造を用いて、指数関数的写像 $ f_\lambda(z) = \exp(\lambda z) $ の安定性を調査すること。
• ジュリア集合上での不変ベルトラミ微分の非存在が構造的不安定性を意味する条件を特定すること。
• 特異値の和分可能性および後期的集合の位相的性質に基づく、写像が不安定となる十分条件を確立すること。
• 有理写像および代数的特異点をもつ超越的写像に関する結果を、単一の漸近的特異点をもつ指数関数的族へと拡張すること。

提案手法

• ポアンカーレ級数 $ P_\lambda = 1 + \frac{1}{\lambda} \sum_{i=2}^{\infty} \frac{1}{(f_\lambda^{i-2})'(1)} $ を定義し、その収束性を分析する。
• ルエール作用素を用いて指数関数的族の力学を解析し、安定性と関連付ける。
• 点 $ a $ が「和分可能」となる概念を導入し、$ \sum \frac{1}{(f_\lambda^i)'(a)} $ が絶対収束することを意味する。
• 双対なメラモーフィック関数 $ \psi $ と $ \varphi $ を用いた複素解析的技法を適用し、不変ベルトラミ微分の存在を研究する。
• [8] の命題 4 を用いて、後期的集合上に極をもつある種のメラモーフィック関数が、位相的条件（例えば零レブゴン測度、有界な成分）のもとで恒等的に消失しないことを示す。
• メビウス変換による共役の議論を構築し、非有界な後期的集合を有界な場合に還元し、双対関数の消失しない性質を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後期的集合にどのような条件下で指数関数的写像 $ f_\lambda $ が構造的に不安定になるか？
• RQ2 ポアンカーレ級数の収束は、ジュリア集合上での不変ベルトラミ微分の非存在とどのように関係するか？
• RQ3 特異値が和分可能であるとき、後期的集合のどのような位相的または測度論的性質が不安定性を示唆するか？
• RQ4 後期的集合がコンパクトまたは零レブゴン測度をもつとき、ジュリア集合上に不変線形場が保証されるか？

主な発見

• 特異値 0 が和分可能であり、後期的集合 $ X_\lambda $ が零レブゴン測度であるならば、$ f_\lambda $ は不安定であり、$ J(f_\lambda) $ 上に不変ベルトラミ微分は存在しない。
• $ X_\lambda $ がコンパクトであるならば、特異値 0 は和分可能であり、位相的有限性と和分可能性の直接的な関係が確立される。
• $(f_\lambda^{n_i})'(1) \to \infty $ かつ $ \sup |S_{n_i}| > 0 $ ならば、$ F(f_\lambda) = \emptyset $ であり、$ f_\lambda $ は不安定である。
• $(f_\lambda^{n_i})'(1) \asymp c \neq 0 $ かつ $ \sup |S_{n_i}| = \infty $ ならば、$ f_\lambda $ は不安定である。
• $ \lim_{n\to\infty} |(f_\lambda^n)'(1)| = 0 $ かつ比 $ \left| \frac{(f_\lambda^{n+1})'(1)}{(f_\lambda^n)'(1)} \right| $ が有界であるならば、$ F(f_\lambda) \neq \emptyset $ であり、安定性の可能性を示唆する。
• すべての $ \lim_{n\to\infty} |(f_\lambda^n)'(1)| = C > 0 $ を満たす指数関数的写像は存在しない。これは特定の安定な振るまいを除外する。