[論文レビュー] Poincare series of some pure and mixed trace algebras of two generic matrices

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特性0の体上の2つの一般の $n \times n$ 行列の純粋および混合トレース代数のポアンカーレ系列を計算し、$n \leq 4$ の既知の結果を $n = 5$ および $n = 6$ に拡張する。$C_{4,2}$ および $C_{5,2}$ の最小生成集合を構成し、後者には173個のバイ同次多項式が含まれる。また、複素行列のユニタリ同値性への応用を提示するとともに、ポアンカーレ系列の分子および分母に関する5つの予想を提示する。

ABSTRACT

We work over a field K of characteristic zero. The Poincare series for the algebra C_{n,2} of GL_n-invariants and the algebra T_{n,2} of GL_n-concomitants of two generic n x n matrices x and y are presented for n less than or equal 6. Both simply graded and bigraded cases are included. The cases for n at most 4 were known previously. If n=5 or 6, we show that C_{n,2} has no bigraded system of parameters. For the algebra C_{4,2} and C_{5,2} we construct a minimal set of generators and give an application to Specht's theorem on unitary similarity of two complex matrices. Five conjectures are proposed concerning the numerators and denominators of various Poincare series mentioned above. Some heuristic formulas and open problems are stated.

研究の動機と目的

• ${\rm GL}_n$-不変量および2つの一般の $n \times n$ 行列の共変量の代数 $C_{n,2}$ および $T_{n,2}$ のポアンカーレ系列を $n \leq 6$ について計算すること。
• $C_{4,2}$ の最小生成集合を、$x$ と $y$ における語のトレースからなるものとして構成し、$4 \times 4$ 複素行列のユニタリ同値性のテストに応用すること。
• $C_{5,2}$ の最小生成集合を、特定の対称性を持つ173個のバイ同次多項式からなるものとして構成すること。
• ${\rm GL}_n$-作用を ${\rm GL}_n \times {\rm GL}_2$ に拡張し、${\rm GL}_n \times {\rm SL}_2$ および ${\rm GL}_n \times \Delta_1$ の部分群における不変量のポアンカーレ系列を計算すること。ここで $\Delta_1$ は ${\rm SL}_2$ の最大トーラスである。
• さまざまなポアンカーレ系列の最低次の項の分子および分母に関する5つの予想を提示し、ヒューリスティックな公式および未解決問題を示唆すること。

提案手法

• $n = 5,6$ について、既知の $n \leq 4$ の結果を基に、表現論的および計算的技法を用いて $C_{n,2}$ および $T_{n,2}$ のバイ次数付きおよび単一次数付きポアンカーレ系列を計算する。
• プロセッチの定理を適用し、$C_{n,d}$ が行列 $x_1, \dots, x_d$ における語のトレースによって生成されることを強調し、特に2文字における語 $w$ の形 ${\rm tr}(w(x,y))$ のトレースに注目する。
• 計算代数を用いて $C_{4,2}$（32生成元）および $C_{5,2}$（173生成元）の最小生成集合を構成し、対称的、反対称的、およびペア形式の生成元のタイプを分析する。
• ${\rm GL}_n$-作用を $M_n^2$ から ${\rm GL}_n \times {\rm GL}_2$ に拡張し、$M_n^2 \cong M_n \otimes K^2$ を用いて、${\rm GL}_n \times {\rm SL}_2$ および ${\rm GL}_n \times \Delta_1$ の不変量のポアンカーレ系列を計算する。
• $P(T_{n,2};t)$ のポアンカーレ系列における係数列 $d_{n,2}(k)$ の構造を分析し、パターンを観察し、$P(T_{\infty,2};t)$ および $P(T_{\infty,\infty};t_1,t_2,\dots)$ のためのヒューリスティックな公式を導出する。
• 計算された系列における観察されたパターンに基づき、特に分子および分母の最低次の項に関する、ポアンカーレ系列の有理関数形に関する予想を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n = 5$ および $n = 6$ について、2つの一般の $n \times n$ 行列の純粋および混合トレース代数 $C_{n,2}$ および $T_{n,2}$ のポアンカーレ系列は何か？
• RQ2 $n = 5$ および $n = 6$ について、バイ次数付き代数 $C_{n,2}$ はバイ次数付きパラメータ系をもつか？もしがそうでないなら、その理由は何か？
• RQ3 $C_{4,2}$ の最小生成集合を $x$ と $y$ における語のトレースのみで構成できるか？また、その生成集合は $4 \times 4$ 複素行列のユニタリ同値性のテストにどのように応用できるか？
• RQ4 $C_{5,2}$ の最小生成集合の構造とサイズは何か？生成元は対称的、反対称的、およびペア形式にどのように分布しているか？
• RQ5 ${\rm GL}_n \times {\rm SL}_2$ および ${\rm GL}_n \times \Delta_1$ の作用における不変量のポアンカーレ系列は $n \leq 5$ について何か？それらからどのようなパターンや予想を導けるか？

主な発見

• $T_{n,2}$ のポアンカーレ系列は $n = 5,6$ について明示的に計算され、$k = 19$ まで係数 $d_{n,2}(k)$ が表にまとめられており、$n$ が増加するにつれて複雑性が著しく増加することが明らかになった。
• $n = 5$ および $n = 6$ について、命題2.1で示されるように、代数 $C_{n,2}$ にはバイ次数付きパラメータ系が存在しない。
• $C_{4,2}$ の最小生成集合は、${\rm tr}(w(x,y))$ の形の32個の生成元からなる。この生成集合は、共役ペアを除いた20語を用いて、$4 \times 4$ 複素行列のユニタリ同値性のテストを導出するために用いられた。
• $C_{5,2}$ の最小生成集合には173個のバイ同次多項式が含まれる：対称的5個、反対称的4個、およびペア $\{f(x,y), f(y,x)\}$ として現れる164個。