[論文レビュー] Point counting for foliations over number fields

Gal Binyamini|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Fuchsian微分方程式の解の成長推定を用いて、数体上に定義された代数多様体上のfoliationの葉と代数的部分多様体の交点数に対して、有効な多項式的上限を確立する。主な結果は、次数および特異点への距離の対数に関する多項式的点数カウント上限であり、これにより、Diophantine幾何における有効な決定可能性および補間結果が得られ、特に楕円曲線の同時捩れ点に対する有効な上限およびモジュラー曲線の冪に対するAndré-Oortの有効な多項式時間決定可能性が可能になる。

ABSTRACT

We consider an algebraic variety and its foliation, both defined over a number field. We prove upper bounds for the geometric complexity of the intersection between a leaf of the foliation and a subvariety of complementary dimension (also defined over a number field). Our bounds depend polynomially on the degrees, logarithmic heights, and the logarithmic distance to a certain \emph{locus of unlikely intersections}. Under suitable conditions on the foliation, we show that this implies a bound, polynomial in the degree and height, for the number of algebraic points on transcendental sets defined using such foliations. We deduce several results in Diophantine geometry. i) Following Masser-Zannier, we prove that given a pair of sections $P,Q$ of a non-isotrivial family of squares of elliptic curves that do not satisfy a constant relation, whenever $P,Q$ are simultaneously torsion their order of torsion is bounded effectively by a polynomial in the degrees and log-heights of the sections $P,Q$. In particular the set of such simultaneous torsion points is effectively computable in polynomial time. ii) Following Pila, we prove that given $V\subset\mathbb{C}^n$ there is an (ineffective) upper bound, polynomial in the degree and log-height of V, for the degrees and discriminants of maximal special subvarieties. In particular it follows that André-Oort for powers of the modular curve is decidable in polynomial time (by an algorithm depending on a universal, ineffective Siegel constant). iii) Following Schmidt, we show that our counting result implies a Galois-orbit lower bound for torsion points on elliptic curves of the type previously obtained using transcendence methods by David.

研究の動機と目的

• 数体上でのfoliationの葉と代数的部分多様体の交点数に対して、有効で多項式的な上限を確立すること。
• 代数的写像によるこのような交点の像内の代数的点の数を、次数と高さの観点から評価する枠組みを構築すること。
• これらの上限を用いて、Masser-ZannierやPilaのAndré-Oort予想といった古典的Diophantine幾何の問題の有効なバージョンを解決すること。
• 超越論を避けて、解析的手法を用いて楕円曲線上の捩れ点のGalois軌道の下限を導出すること。

提案手法

• 数体上でのFuchsian微分方程式を用いてfoliationの葉の幾何をモデル化し、解の成長を制御すること。
• Weierstrassの多価円板被覆およびj特異ノルム推定を用いて、交点の局所的幾何を制御すること。
• 非同次Fuchsian方程式の解のj特異ノルムの成長に対して、次数と高さの制御を用いて有効な上限を確立すること。
• 半径を制御したドミンの鎖を構築し、基本点から任意の標的点へ上限を伝搬させ、特異点までの距離に多項式的依存を保証すること。
• 代数的部分多様体の複雑さを定量化するための高さと次数の不変量（δ_V）を用いること。
• foliationの文脈においてPila-Wilkie型の点数カウント原理を応用し、交点の像内の代数的点の数に対する上限を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的部分多様体の次数と高さに関して、foliationの葉とその交点数が有効に上限付けられるか。
• RQ2 代数的写像によるこのような交点の像内における、次数gと対数高さhの代数的点の数が、gとhに関して多項式的上限を持つか。
• RQ3 非等素なアーベル曲線族における同時捩れ点に関するMasser-Zannier予想が、セクションの不変量に関して多項式的上限を伴って有効化可能か。
• RQ4 モジュラー曲線の冪に対するAndré-Oort予想は、定数が無効的であっても多項式時間で決定可能か。
• RQ5 超越論を避けて、解析的手法により楕円曲線上の捩れ点のGalois軌道の下限を導出可能か。

主な発見

• コンパクトな葉の断片と代数的部分多様体Vとの交点数は、δ_Vとlog(dist⁻¹(B, Σ_V))に関して多項式的である。ここでδ_VはVの次数と対数高さを組み合わせたものである。
• 写像Φに対して、Φ(B ∩ V)内の次数gと対数高さhの代数的点の数は、適切な条件下でgとhに関して多項式的である。
• 非等素な楕円曲線の平方族における同時捩れ点の集合は、δ_Pとδ_Qに関して多項式的時間で有効に計算可能であり、捩れ位数はδ_Pとδ_Qに関して多項式的である。
• C^nの部分多様体における最大特殊部分多様体の次数および判別式に対して、無効的だが多項式的上界が確立され、モジュラー曲線の冪に対するAndré-Oortの多項式時間決定可能性が示される。
• 超越論的手法ではなく解析的手法を用いて、楕円曲線上の捩れ点のGalois軌道の下限が導出され、従来の超越論的手法で得られた結果と一致する。
• 非同次Fuchsian方程式の解の成長が、特異点までの逆距離に関して多項式的であることが示され、方程式の次数と高さに有効な依存関係がある。