[論文レビュー] Point Electric Charge in General Relativity

Plamen Fiziev, S. V. Dimitrov|ArXiv.org|Jun 9, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における点電荷に対して、特異性を排除する適切なゲージ条件を用いて、正則で3パラメータの解を導出する。規則性条件によって誘導される時空トポロジーのおかげで、ニュートンの重力ポテンシャルとクーロンの電気ポテンシャルの両方が r=0 で有限であり、新しいスケール $ ilde{r}$ においてニュートン的およびクーロン的法則に古典的補正が生じ、新しい質量比パラメータ $ abla$ を含む修正されたガウスの法則が得られる。この解は量子力学を用いずに場を自然に正則化し、基本粒子の古典的モデルを提供する。

ABSTRACT

Using a proper gauge condition the static spherically symmetric solutions of Einstein-Maxwell equations with charged point source at the center are derived. It is shown that the solutions of the field equations are a three-parameter family depending on the Keplerian mass $M$, the charge $Q$ and the bare mass $M_0$. The result can be interpreted as a correction to Newton's gravitational potential and Coulomb's electric potential which are both regular at the centre where the massive point is placed. A correction to Gauss theorem is derived based on the nontrivial topology of the corresponding spacetime.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論における点源の重力場および電磁場に長年の特異性問題が生じるのを解消すること。
• 原点におけるニュートン的重力とクーロンの法則の両方を正則化することで、基本粒子の古典的で有限な記述を提供すること。
• 源が有限なサイズを持ち、観測者が近接するという物理的点源の定義を満たす解を、量子補正ではなく時空幾何学に基づいて導出すること。
• 裸質量 $M_0$ とケプラー質量 $M$ を区別する新しいパラメータ $\varrho$（重力的質量比）を導入し、観測可能な天体物理学的現象と関連付けること。
• 正則なゲージ条件から生じる非自明な時空トポロジーが、r=0 であっても有限な場のポテンシャルおよび放射率を生じることを示すこと。

提案手法

• 時空計量に静的かつ球対称なアンザッツを用い、原点における場の式の正則性を保証するための適切なゲージ条件を適用する。
• このゲージ条件の下でアインシュタイン＝マクスウェル方程式を解き、ケプラー質量 $M$、電荷 $Q$、裸質量 $M_0$ でパrameter化された3パラメータの解族を得る。
• 場の式を、ディラックのデルタ関数 $\delta(r)$ とステップ関数 $\theta(r)$ を含む源項を持つ微分方程式系に変換し、$\varphi_1$、$\varphi$、$\sqrt{g_{\text{tt}}}$ を含む形で記述する。
• 3次元空間積分を用いて保存量を導出し、$M$、$Q$、$M_0$、$\varrho$ を含む4つの不変積分を得る。これらを解くことでパラメータの関係を特定する。
• 積分により、新しい項 $\varrho$ を含むガウスの法則の補正が得られ、重力的質量エネルギーバランスの修正形が得られる。
• 有限分布の極限として解が得られ、ゲージ条件によって誘導される時空の非自明なトポロジーから正則化が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における点電荷の古典的で有限な解を、量子補正や r=0 における特異性を導入せずに導出可能か？
• RQ2 重力を組み込むことでクーロンポテンシャルはどのように正則化されるのか？この正則化に伴い、どのような新しいスケールが現れるか？
• RQ3 裸質量 $M_0$ とケプラー質量 $M$ を結ぶ新しいパラメータ $\varrho$（重力的質量比）の物理的意味と測定可能な結果は何か？
• RQ4 非自明な幾何学的構造と正則なゲージ条件の下で、電磁気におけるガウスの法則はどのように修正されるか？
• RQ5 この解は、原点においても有限な場の強さと放射率を持つ古典的モデルとして、基本粒子に解釈可能か？

主な発見

• 解は、ケプラー質量 $M$、電荷 $Q$、裸質量 $M_0$ でパラメータ化された3パラメータの静的かつ球対称なアインシュタイン＝マクスウェル方程式の解族であり、$r=0$ においてすべての場が有限である。
• 正則なゲージ条件によって誘導される非自明な時空トポロジーのおかげで、重力ポテンシャル $\varphi_{1,2}(r)$ とクーロンポテンシャル $\varphi(r)$ は原点で正則である。
• ニュートンの法則およびクーロンの法則に古典的補正が現れ、これは新しいスケール $\tilde{r}$ において顕著になる。このスケール $\tilde{r}$ は $M$、$Q$、$M_0$ のパラメータによって定義される。
• ガウスの法則に補正項が導入され、$\int \sqrt{|g^{(4)}|} \Delta\varphi \, d^3\mathbf{r} = 4\pi Q(1 - 2\varrho)$ と表される。ここで $\varrho$ は重力的質量比であり、$M_0$ と $M$ を区別する新しいパラメータである。
• 解は原点において有限な放射率および有限な場の強さを示しており、$L \sim a$ のとき、時空幾何学が内部構造を自然に保護することを示唆しており、量子力学を要しない。
• 結果は、点源に対する古典的正則化機構を示唆し、有限な古典的基本粒子のモデルにおいて、古典的および量子的補正を統合する可能性を示している。