[論文レビュー] Point fixe lié à une orbite périodique d'un difféomorphisme de R2

Boris Kolev|ArXiv.org|Dec 3, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ニエルセン固定点理論を用いて、$ℝ^2$ 上の$C^1$ 垂直保存微分同相写像で周期軌道をもつものについて、その軌道にリンクする固定点が存在することを確立している。$ℝ^2$ を$S^2$ にコンパクト化し、周期軌道の点を除いた表面を構成した後、その表面のニエルセンクラスを解析することで、少なくとも2つのニエルセンクラスが存在することが示され、そのうちの1つは周期軌道にリンクする固定点に対応する。

ABSTRACT

Given a diffeomorphism of the plane, which has a periodic orbit, we show how Nielsen fixed point theory can be used to establish the existence of a fixed point which is linked with this periodic orbit.

研究の動機と目的

• $ℝ^2$ 上の$C^1$ 垂直保存微分同相写像で周期軌道をもつものについて、その軌道にリンクする固定点の存在を確立すること。
• ニエルセン固定点理論が、この結果を直接的かつ概念的に証明できることを示すこと。
• 固定点が周期軌道に「リンクしている」とされるトップロジカルな条件を明確にすること。
• リンク条件が、コンパクト化された表面における固定点と無限遠点が同じニエルセンクラスに属することと同値であることを示すこと。
• ギャンバウドの結果を一般化し、代数的位相の道具を用いてより内因的な位相的証明を与えること。

提案手法

• $\mathbb{R}^2$ をステレオグラフィック射影によって$S^2$ にコンパクト化し、微分同相写像$f$ を北極$P_\infty$ を固定する$\hat{f}$ に拡張する。
• 各周期軌道点$P_i$ を境界円$S_i$ に置き換えることで、境界を持つコンパクト表面$M$ を構成する。
• $\hat{f}$ に制限された$S^2 \setminus \{P_1, \dotsc, P_n\}$ 上で定義される誘導同相写像$\tau: M \to M$ を定義し、力学的性質を保つ。
• ニエルセン理論を$\tau$ に適用し、固定点を、それらの間を結ぶ弧のホモトピーに基づいてニエルセンクラスに分類する。
• $L(\tau) = 2$ および$n \geq 3$ のとき$\chi(M) < 0$ であることから、$N(\tau) \geq 2$（ニエルセン数）が導かれる。
• 固定点$P_0$ が軌道にリンクしないならば、その$P_0$ と$P_\infty$ は、$\tau$ の同じニエルセンクラスに属することを、普遍被覆空間におけるホモトピーの持ち上げを用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C^1$ 垂直保存微分同相写像で周期軌道をもつ$ℝ^2$ 上の写像は、常にその軌道にリンクする固定点をもつか？
• RQ2 ニエルセン固定点理論を用いて、このようなリンクする固定点の存在を直接的に証明できるか？
• RQ3 固定点が周期軌道にリンクしているとされるトップロジカルな条件は何か？
• RQ4 コンパクト化された表面における誘導写像$\tau$ のニエルセン数$N(\tau)$ は、リンクする固定点の存在とどのように関係するか？
• RQ5 写像$f$ における微分可能性の仮定は本質的か、それとも結果は連続写像へ拡張可能か？

主な発見

• $M$ 上の誘導写像$\tau$ のニエルセン数$N(\tau)$ は2以上である。
• $n = 2$ のとき、表面$M$ はアニュラスであり、$\tau$ は正確に2つのニエルセンクラスを持ち、それぞれのインデックスは1である。
• $n \geq 3$ のとき、$\chi(M) < 0$ であることから、ニエルセンクラスのインデックスは1以下であり、$L(\tau) = 2$ であることから$N(\tau) \geq 2$ が従う。
• 周期軌道$\mathcal{O}$ にリンクしない固定点$P_0$ は、$\tau$ において$P_\infty$ と同じニエルセンクラスに属する。
• $N(\tau) \geq 2$ であることから、$\tau$（したがって$f$）の固定点のうち、$P_\infty$ とは異なるニエルセンクラスに属するものが少なくとも1つ存在する。これは、それが$\mathcal{O}$ にリンクしていることを示唆する。
• ゆえに、$f$ は周期軌道$\mathcal{O}$ にリンクする固定点を少なくとも1つもつ。これは定理1.1の証明である。