[論文レビュー] Point pushing, homology, and the hyperelliptic involution

Tara Brendle, Dan Margalit|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双曲的トーリー群に対するBirman完全系列を確立し、特にハイパーエリプティック対合の下で固定点をマークする場合、または交換される点のペアをマークする場合の2つの主要なケースでその系列が分解することを証明する。この分解により、ハイパーエリプティックトーリー群が対称的で分離する曲線に関するデーンねじりで生成されるための必要十分条件が、可約な要素による生成と一致することを示せる。これにより、ある予想が部分的に解決され、バウール表現の核と関連づけられる。

ABSTRACT

The hyperelliptic Torelli group is the subgroup of the mapping class group consisting of elements that act trivially on the homology of the surface and that also commute with some fixed hyperelliptic involution. We prove a Birman exact sequence for hyperelliptic Torelli groups, and we show that this sequence splits. As a consequence, we show that the hyperelliptic Torelli group is generated by Dehn twists if and only if it is generated by reducible elements. We also give an application to the kernel of the Burau representation.

研究の動機と目的

• ハイパーエリプティック対合と可換するがホモロジーに自明に作用する写像類群の部分群としてのハイパーエリプティックトーリー群に、Birman完全系列を拡張すること。
• マークされた曲面や境界成分を含む完全系列を通じて、ハイパーエリプティックトーリー群の構造を理解すること。
• ハイパーエリプティックトーリー群において、対称的で分離する曲線に関するデーンねじりによる生成と、可約な要素による生成との関係を解明すること。
• 得られた結果を、特に対称的曲線構造を考慮した場合のバウール表現の核に応用すること。

提案手法

• マークされた点または境界成分を備えた曲面を考察することで、ハイパーエリプティックトーリー群に対するBirman完全系列を構成する。
• 穴あき球面の基本群のデータを用いて、マークされたハイパーエリプティックトーリー群から未マーク群への忘却写像の核を同定する。
• Birman–Hilden定理を用いて、この核をランク2g+1の自由群の偶数長の語に値をとる、ε: F_{2g+1} → ℤ^{2g+1} と定義された準同型写像の核として実現する。
• 対称的および事前対称的曲線を用いて切断を構成することで、完全系列が分解することを証明する。ここで、εの核が無限生成の自由群であるという事実を活用する。
• 分解を応用し、核に属するすべての元が、対称的で分離する曲線に関するデーンねじりの積として表せることを示す。
• genus に関する帰納法を用い、Birman系列と対称的可約要素の構造を組み合わせることで、対称的デーンねじりによる生成を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーエリプティックトーリー群は、標準的写像類群に類似したBirman完全系列を有するか？
• RQ2 マークされたハイパーエリプティックトーリー群から未マーク群への忘却写像の核は自由群と同型であり、系列が分解するか？
• RQ3 ハイパーエリプティックトーリー群が、対称的で分離する曲線に関するデーンねじりによって生成されるための必要十分条件は、可約な要素による生成と一致するか？
• RQ4 対称的および事前対称的曲線は、Birman系列の切断を構成するために果たす役割は何か？
• RQ5 核の構造は、バウール表現の核とどのように関連するか？

主な発見

• 1つの固定マーク点を備えたハイパーエリプティックトーリー群から未マーク群への忘却写像は同型であるため、Birman系列は退化する。
• 1つの境界成分を備えた曲面に対して、ハイパーエリプティックトーリー群は未マーク群と ℤ の直積と同型である。
• ハイパーエリプティック対合によって交換される点のペアをマークする場合、忘却写像の核は、ランク2g+1の自由群の偶数長語から ℤ^{2g+1} への準同型写像 ε に対する核と同型である。
• 得られる短完全系列は分解するため、マークされたハイパーエリプティックトーリー群は、未マーク群と無限生成の自由群の半直積と同型である。
• 忘却写像の核に属するすべての元は、対称的で分離する曲線に関するデーンねじりの積として表せる。
• ハイパーエリプティックトーリー群は、対称的で分離する曲線に関するデーンねじりによって生成されるための必要十分条件が、可約な要素による生成と一致する。これは、 genus に関する帰納法と Birman 系列の使用により示された。