[論文レビュー] Pointed $p^3$-dimensional Hopf algebras in positive characteristic

Van C. Nguyen, Xingting Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、正の特性 $p>0$ の代数的に閉じた体上のすべての点付き $p^3$次元ホップ代数を分類し、群的元のなす群の位数が $p$ または $p^2$ である場合に注目する。アンドルスキーイヴィッチ＝シュナイダー計画を用いて、関連する次数付きホップ代数からのライティングを同定し、非可換かつ非ココクリアな有限次元ホップ代数の新たな族を導出し、無限パラメータ族と $p$ および構造的パラメータに依存する有限クラスを含む。

ABSTRACT

We classify pointed $p^3$-dimensional Hopf algebras $H$ over any algebraically closed field $k$ of prime characteristic $p>0$. In particular, we focus on the cases when the group $G(H)$ of group-like elements is of order $p$ or $p^2$, that is, when $H$ is pointed but is not connected nor a group algebra. This work provides many new examples of (parametrized) non-commutative and non-cocommutative finite-dimensional Hopf algebras in positive characteristic.

研究の動機と目的

• 任意の特性における代数的に閉じた体上の $p^3$ 次元の点付きホップ代数の分類を完成させること。
• 特徴がゼロでない正の特性 $p>0$ におけるアンドルスキーイヴィッチ＝シュナイダー分類計画を特徴がゼロの状況から拡張すること。
• 関連する群的元のなす群の位数が $p$ または $p^2$ であるとき、次数付き設定におけるバニシングホップ代数のライティングを分析すること。
• 正の特性において、特に $p$ が次元を割るとき、バニシングホップ代数が一般に原始的生成をもたないという挑戦に応えること。
• 正の特性における非自明な点付きホップ代数の明示的パラメータ族と有限クラスを提供すること。

提案手法

• 正の特性における $p^3$ 次元の点付きホップ代数を分類するために、アンドルスキーイヴィッチ＝シュナイダーのライティング法を適用すること。
• 群的元のなす群 $G(H)$ の位数に基づいて分類をケースに分割すること：$|G(H)|=p$ または $p^2$。
• 関連する次数付きホップ代数 $\mathrm{gr}\,H \cong R \# \mathbb{k}G(H)$ を分析すること。ここで $R$ は、Yetter-Drinfeld 圈 ${}^G_G\mathcal{YD}$ 内のバニシングホップ代数である。
• ダイヤモンド補題を用いて関係式の定義における曖昧さを解消し、代数の有限性と整合性を検証すること。
• 特に原始的生成をもたない $R$ の場合に、コホモロジー的および代数的制約（余乗法および関係式に）を解いてライティングを扱うこと。
• $R$ のタイプ（対角型またはジョルダン型）と $G(H)$ による生成子への作用の種別を、特に特性 $p$ の下で区別すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における点付き $p^3$ 次元ホップ代数のライティングは、特性ゼロの場合とどのように異なるか？
• RQ2 次元 $\dim H$ が $p$ で割られるとき、関連する群的元のなす群の位数が $p$ または $p^2$ である場合、バニシングホップ代数 $R$ の原始性はどのように変化するか？
• RQ3 アンドルスキーイヴィッチ＝シュナイダーのライティング法は正の特性において体系的に適用可能か？ そして、どのような新しい構造的現象が生じるか？
• RQ4 代数的に閉じた体の特性 $p>0$ における $p^3$ 次元の点付きホップ代数の完全な同型類は何か？
• RQ5 このようなホップ代数の有限族およびパラメータ族の数と構造は、$p$ および群作用にどのように依存するか？

主な発見

• Case A1 において、$|G(H)|=p$ で $u=0$ のとき、$1$ つの無限パラメータ族と $10$ 個の有限クラスが同定された。$u\neq0$ のとき、$2(p-1)$ 個の無限パラメータ族と $6(p-1)$ 個の有限クラスが存在する。
• Case A2 では、$a$ および $b$ に $G(H)$ の自明な作用をもつライティングから生じる $5$ 個の有限クラスのホップ代数がある。
• Case A3 において、$p=2$ のとき、$a$ および $b$ に非自明な $G(H)$-作用をもつホップ代数が $5$ 個の有限クラスとして得られる。
• Case B（$p>2$）では、一般にはライティングが完全に解明されていないが、$p=3$ の場合を詳細に分析し、$p>3$ については予想が提示されている。
• Case C（$\epsilon=0$）では、$1$ つの無限パラメータ族と $2$ 個の有限クラスがある。$\epsilon=1$ の場合、ライティングは完全に解明されていないが、$p=2$ および $gx=xg$ を満たす $p>2$ の場合のケースが分析されている。
• Case D1（$|G(H)|=p^2$）では、$\epsilon=0$ のとき $2$ 個の有限クラス、$\epsilon=1$ のとき $2$ 個のクラス（$\epsilon_1$ に依存）、$\epsilon=p$ のとき $2$ 個のクラスがあり、$\epsilon=1$ かつ $\epsilon_1=1$ のとき $1$ パラメータ族が存在する。