[論文レビュー] Points of continuity of quasiconvex functions on topological vector spaces

Patrick J. Rabier|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バナッハ型位相線形空間上での実数値擬凸関数の下位集合に対する必要十分な位相的条件を確立し、関数が残渣的（稠密Gδ）部分集合上で連続であることを示している。主な結果は、不連続性が第一級であるための必要十分条件を、各下位集合 $ F_\alpha = \{x : f(x) < \alpha\} $ がその閉包の内部が空集合であるとき、どこにも稠密でない場合に限定することで示しており、連続性構造を分析するために、新たな位相的本質的極値の概念を導入している。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions for a real-valued quasiconvex function f on a Baire topological vector space X (in particular, Banach or Frechet space) to be continuous at the points of a residual subset of X. These conditions involve only simple topological properties of the lower level sets of f. A main ingredient consists in taking advantage of a remarkable property of quasiconvex functions relative to a topological variant of essential extrema on the open subsets of X. One application is that if f is quasiconvex and continuous at the points of a residual subset of X, then with a single possible exception, f^{-1}(a) is nowhere dense or has nonempty interior, as is the case for everywhere continuous functions. As a barely off-key complement, we also prove that every usc quasiconvex function is quasicontinuous in the (classical) sense of Kempisty since this interesting property does not seem to have been noticed before.

研究の動機と目的

• 実数値擬凸関数のバナッハ型位相線形空間上での連続点集合を特徴づけること。
• 連続性を残渣的部分集合上で保証する、下位集合に関する単純な位相的条件を同定すること。
• 有限次元におけるCrouzeixの微分可能性結果のカテゴリー論的類似を確立すること。
• 特に上半連続関数に対して、擬凸性と擬連続性の関係を探索すること。
• 下位集合にややいなごろの位相的条件が与えられたとき、このような関数の不連続点集合が常に第一級であることを示すこと。

提案手法

• 開集合内での極値的挙動を分析するために、第一級集合を用いて定義される、位相的本質的極大値 $ \mathcal{T}\text{ess}\sup_U f $ および位相的本質的極小値 $ \mathcal{T}\text{ess}\inf_U f $ の概念を導入する。
• 位相線形空間の文脈でバナッハのカテゴリー定理を用い、下位集合 $ F_\alpha $ および $ F_\alpha' $ の構造を分析する。
• 残渣的集合および第一級集合の概念を用いて、擬凸関数の連続点を特徴づける。
• 擬凸関数が残渣的集合上で連続であるための必要十分条件として、$ \overset{\circ}{F_\alpha'} = \emptyset $ ならば $ F\_\alpha $ がどこにも稠密でないことを示し、下位集合の位相的性質と連続性を結びつける。
• 上半連続な擬凸関数が、Kempistyの意味で擬連続であることを示すことで、上半連続な擬凸関数が、任意の開集合 $ \Omega \subset \mathbb{R} $ に対して $ f^{-1}(\Omega) $ の内部が $ f^{-1}(\Omega) $ において稠密であることを証明する。
• 関数の $ \mathcal{T}\text{ess}\inf_X f $ が第一級集合での変更に対して不変であるという事実を活用し、極値的挙動の堅牢な分析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下位集合にどのような位相的条件が課されると、バナッハ型位相線形空間上での擬凸関数が残渣的部分集合上で連続になるか？
• RQ2 下位集合 $ F_\alpha $ および $ F_\alpha' $ の構造は、不連続点集合のカテゴリーとどのように関係するか？
• RQ3 位相的本質的極値の概念を用いて、擬凸関数の連続性基準を導出可能か？
• RQ4 すべての上半連続な擬凸関数は、Kempistyの意味で擬連続であるか？
• RQ5 無限次元空間における擬凸関数の連続性の性質は、有限次元空間におけるそれらとどの程度類似しているか？

主な発見

• 実数値擬凸関数がバナッハ型位相線形空間上で定義されているとき、任意の $ \alpha \in \mathbb{R} $ に対して、$ F_\alpha = \{x : f(x) < \alpha\} $ が、$ F_\alpha' = \{x : f(x) \leq \alpha\} $ の内部が空集合である場合には、どこにも稠密でないならば、その関数は残渣的部分集合上で連続である。
• 下位集合に提示された条件のもとで、バナッハ空間上での擬凸関数の不連続点集合は常に第一級である。
• 任意の上半連続な擬凸関数は、位相線形空間上で定義されている限り、Kempistyの意味で擬連続である。つまり、任意の開集合 $ \Omega \subset \mathbb{R} $ に対して、$ f^{-1}(\Omega) $ の内部が $ f^{-1}(\Omega) $ において稠密である。
• この結果は、Crouzeixの定理のカテゴリー論的類似を提供する：微分可能性が保証されていなくても、バナッハ空間上での擬凸関数は残渣的集合上で連続である。
• 非可分または局所凸でない空間、例えば $ L^p(0,1) $（$ 0 < p < 1 $）のような空間では、この条件が、残渣的集合上で連続な擬凸関数が、ある残渣的集合上で定数関数でなければならないことを示唆する。
• 位相的本質的極値の概念が、第一級集合での変更に対して不変であることが示され、連続性構造を特徴づける上で中心的な役割を果たしている。