[論文レビュー] Points of Small Height on Semiabelian Varieties

Lars Kühne|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、数体上の一般の半アーベル多様体に対して、等分布予想およびボゴモロフ予想を証明する。Canonical height が非分裂的でない限り負であるという障害を克服し、Szpiro-Ullmo-Zhang に由来する漸近的等分布技法と、メトリシズドラインバンドル上の canonical メトリックを用いることで、正規化された点質量が canonical 測度に弱収束することを確立し、一般の状況下での Strong Equidistribution Conjecture の自己完結的証明を達成する。

ABSTRACT

The Equidistribution Conjecture is proved for general semiabelian varieties over number fields. Previously, this conjecture was only known in the special case of almost split semiabelian varieties through work of Chambert-Loir. The general case has remained intractable so far because the height of a semiabelian variety is negative unless it is almost split. In fact, this places the conjecture outside the scope of Yuan's equidistribution theorem on algebraic dynamical systems. To overcome this, an asymptotic adaption of the equidistribution technique invented by Szpiro, Ullmo, and Zhang is used here. It also allows a new proof of the Bogomolov Conjecture and hence a self-contained proof of the Strong Equidistribution Conjecture in the same general setting.

研究の動機と目的

• 数体上の一般の半アーベル多様体に対して等分布予想を確立し、これまで知られていた非分裂的でない多様体に限らない一般化を達成する。
• Canonical height が非分裂的でない限り負であるという長年の障害を解消し、これは Yuan の等分布定理が負の高さの場合に失敗することに起因する。
• 半アーベル多様体の一般設定下でボゴモロフ予想に対する新たな自己完結的証明を提供する。
• この文脈において、等分布予想とボゴモロフ予想の同値性を確立することで、Strong Equidistribution Conjecture を証明する。
• 半アーベル多様体の解析的空間上での canonical 測度の定義を可能にする、canonical 高度関数およびメトリシズドラインバンドル上の canonical メトリックを構築する。

提案手法

• 半アーベル多様体のコンパactification を用い、MG が境界除数に関連する線分束 L = MG ⊗ π∗N を用いて canonical 高度関数 bhL(x) を定義する。ここで A はアーベル商であり、N は A 上のアーベル的で対称なアーベル的線分束である。
• Szpiro, Ullmo, Zhang の等分布技法の漸近的適合版を用い、負の高さの場合に失敗する Yuan の定理に依存しない。
• 各場所 ν に対して ν-メトリシズドラインバンドル Lν = (L, ∥·∥ν) を構成し、解析的空間 GanCν 上の canonical 測度 c1(Lν)∧g+t を得る。
• 局所的ポテンシャルと Chern-Levine-Nirenberg 不等式を用いて、電流の Monge-Ampère 積のバウンドを確立し、重要な極限過程での収束を示す。
• n と k の二重極限過程を用いて、λbD1,…,bDd′+1(Z) の局所的高さペアリングを定義・制御し、補助的選択に依存しないことを保証する。
• 非正の電流に対する Bedford-Taylor 理論の精錬版を用い、セクションの対数ノルムの一様バウンドを用いて極限の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Canonical height が負である非分裂的でない半アーベル多様体に対しても、等分布予想は一般に証明可能か？
• RQ2 数体上の半アーベル多様体の幾何的既約な部分多様体に対して、ボゴモロフ予想は常に成り立つか？
• RQ3 一般状況下で、等分布予想とボゴモロフ予想の両者が成り立つならば、Strong Equidistribution Conjecture はその結果として得られるか？
• RQ4 非アーチメデス的およびアーチメデス的場所 ν に対して、解析的空間 GanCν 上の canonical 測度 c1(Lν)∧g+t をどのように定義・制御できるか？
• RQ5 負の canonical height が標準的等分布定理の失敗を引き起こす状況に対処するための適切な漸近的フレームワークは何か？

主な発見

• すべての数体上の半アーベル多様体に対して等分布予想が成り立ち、小点の正規化された点質量が canonical 測度 c1(Lν)∧g+t / degL(G) に弱収束することが示された。
• ボゴモロフ予想は半アーベル多様体の全範囲で証明され、小点がゼロ集合的非稠密であるか、部分多様体が連結部分群の torsion ずらしでない限り、小点は Zariski 稠密でないことが示された。
• 等分布予想とボゴモロフ予想の両方が成り立つことから、Strong Equidistribution Conjecture がその結果として確立され、小点列の完全な特徴づけが得られた。
• Canonical 高度 bhL(x) は、Tate の極限論的議論を用い、MG と π∗N の Weil 高度を用いて定義され、adelically メトリシズドラインバンドル eL に関連する Néron-Tate 高度と一致する。
• 測度 c1(Lν)∧g+t がアーチメデス的 ν に対して最大コンパクト部分群上のハール測度であることが示され、canonical メトリックおよび擬・シュワルツ的ポテンシャルを用いてその構造が記述された。
• 高さペアリングにおける極限過程が補助的メトリックおよびセクションの選択に依存しないことが示され、局所的高さペアリングの一貫性とwell-definedness が保証された。