[論文レビュー] Pointwise convergence along cubes for measure preserving systems

Idris Assani|ArXiv.org|Nov 17, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非可換な変換をもつ測度保存系における立方体に 沿った多重エルゴード平均の逐次ほとんど everywhere 収束を確立する。3つの有界関数および非可換な測度保存変換 $T_1, T_2, T_3$ に対して、平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^{n+m}x)$ は a.e. で収束する。弱混合性のもとで一般化すると $2^k - 1$ 個の関数に拡張可能である。主な結果は、キンチンの再帰定理を拡張し、弱混合系における帰還時刻のシンデティック性を確立する。

ABSTRACT

Let $(X, \mathcal{B}, μ)$ be a probability measure space and $T_1$, $T_2$, $T_3$ three not necessarily commuting measure preserving transformations on $(X, \mathcal{B}, μ)$. We prove that for all bounded functions $f_1$, $f_2$, $f_3$ the averages $$\frac{1}{N^2}\sum_{n, m =1}^N f_1(T_1^nx)f_2(T_2^mx)f_3(T_3^{n+m}x)$$ converges a.e. Generalizations to averages of $2^k -1$ functions are also given for not necessarily commuting weakly mixing systems.

研究の動機と目的

• 非可換な測度保存変換をもつ多変量平均への点별エルゴード定理の拡張。
• 変換が非可換である場合に、立方体に沿った $2^k - 1$ 個の関数に対する点別収束が成立するかの調査。
• 非可換変換をもつ系へのキンチンの再帰定理の一般化。
• 多重エルゴード平均を用いて、弱混合系における帰還時刻のシンデティック性の確立。

提案手法

• $L^2$-型不等式（補題1）を新規に用い、指数和および三角多項式の上限を介して平均の $L^2$ ノルムを評価する。
• 平均エルゴード定理および条件付き期待値の技法を用いて、関数を不変部と振動部に分解する。
• 平均を条件付き期待値の積と誤差項に分解し、誤差項が $L^2$ でゼロに収束することを示す。
• $\mathbb{Z}^k$ における立方体の構造を用いて、ネストされたシフトをもつ $2^k - 1$ 個の関数の多変量平均を定義する。
• スペクトル法および直交性を用いて、変換が弱混合であるとき、平均が積分の積に収束することを示す。
• 定数関数の直交補空間に属する任意の関数が存在する場合、平均がゼロに収束することを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換な測度保存変換をもつ系において、立方体に沿った多重エルゴード平均の点別収束は成立するか？
• RQ2 変換が非可換である場合に、$k > 2$ に対して $2^k - 1$ 個の関数に対する収束結果を拡張できるか？
• RQ3 非可換な $T_1, T_2, T_3$ に対して、有界関数のもとで平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^{n+m}x)$ の極限は何か？
• RQ4 $2^k - 1$ 個の関数の平均が積分の積に収束する条件は何か？
• RQ5 弱混合系において、正の測度をもつ集合への帰還時刻の集合はシンデティックか？

主な発見

• 任意の有界関数 $f_1, f_2, f_3$ および非可換な測度保存変換 $T_1, T_2, T_3$ に対して、平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^{n+m}x)$ はほとんど everywhere で収束する。
• 弱混合系では、$k$ 次元立方体に沿った $2^k - 1$ 個の有界関数の平均は a.e. で積分の積に収束する。
• 平均 $\frac{1}{N^2}\sum_{n,m=1}^N \mathbf{1}_A(T_1^n x)\mathbf{1}_A(T_2^{n+m}x)$ の極限は $\mathbb{E}(\mathbf{1}_A, \mathcal{I}_1)(x)\mathbb{E}(\mathbf{1}_A, \mathcal{I}_2)(x)$ に等しく、キンチンの再帰を拡張する。
• $\mathcal{I}_1 \subset \mathcal{I}_2$ または $\mathcal{I}_2 \subset \mathcal{I}_1$ である場合、測度平均の極限は $\geq \mu(A)^3$ を満たす。これは再帰不等式を一般化する。
• 弱混合系では、任意の $\lambda < 1$ に対して、積分関数の積が $\lambda \mu(A)^{2^k}$ を超える $k$ 重組 $(n_1, \dots, n_k)$ の集合はシンデティックである。