[論文レビュー] Pointwise Definable Models of Set Theory

Joel David Hamkins, David Linetsky+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の可算なゲーデル＝バーナイス＝フォン・ノイマン集合論（GBC）のモデルが、すべての集合とクラスがパラメータなしで定義可能である、点ごとの定義可能性を満たすクラスフォーシング拡張をもつことを確立している。主な貢献は、宇宙全体を1つの一般化された対象に符号化するフォーシング構成であり、すべての要素が一意に定義可能であることを保証する。これにより、すべての数学的対象が一階論理によって明示的に名前付け可能なモデルが実現される。

ABSTRACT

A pointwise definable model is one in which every object is definable without parameters. In a model of set theory, this property strengthens V=HOD, but is not first-order expressible. Nevertheless, if ZFC is consistent, then there are continuum many pointwise definable models of ZFC. If there is a transitive model of ZFC, then there are continuum many pointwise definable transitive models of ZFC. What is more, every countable model of ZFC has a class forcing extension that is pointwise definable. Indeed, for the main contribution of this article, every countable model of Godel-Bernays set theory has a pointwise definable extension, in which every set and class is first-order definable without parameters.

研究の動機と目的

• 集合論のモデルにおけるすべての数学的対象がパラメータなしで定義可能かどうかを調査すること。
• 非可算個の実数が存在するが、定義可能なものとしては可算個しか存在しないという数学お茶論法（math-tea argument）と、完全に定義可能な宇宙の可能性との間にある基礎的対立を解消すること。
• すべての対象が一階論理でパラメータなしに定義可能なZFCおよびGBCの点ごとの定義可能なモデルを構成すること。
• このようなモデルが、大基数の性質を保ちながらクラスフォーシングによって得られることを示すこと。
• 任意の可算なGBCモデルが、定義可能な要素が存在しない状態から出発しても、点ごとの定義可能な拡張をもつこと

提案手法

• 全宇宙を1つの一般化されたクラスYに符号化するための、段階的エイストン・サポートのフォーシング反復が用いられ、すべての集合とクラスがYから定義可能であることを保証する。
• 一般性と定義可能性を保証するために、条件の木を段階的に精錬する構成が行われ、密度の高い部分集合族と分岐ノードの階層が用いられる。
• すべてのΣn-定義可能な稠密部分集合に枝が交差するように保証するため、条件の木から定義可能な写像fが構成される。
• フォーシングは、各An（関心のあるクラス）が偶数番目の分岐レベルにおける属性に基づいてノードが選択されるように設計されており、YにAnが符号化される。
• 最終的なモデル⟨M, ∈, Y⟩はZFC(Y)を満たし、すべての集合とクラスがYのみから定義可能であることを保証する。このため、モデルは点ごとの定義可能となる。
• この方法は、新しい集合を追加せず、一般化されたクラスを1つだけ追加するため、大基数の性質を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ZFCが矛盾しない限り、集合論の言語においてすべての実数がパラメータなしで定義可能であることは一貫するか？
• RQ2 任意の可算なGBCモデルは、クラスフォーシングによって点ごとの定義可能なZFCモデルに拡張可能か？
• RQ3 全宇宙が符号化された一般化されたクラスを追加した場合、点ごとの定義可能という性質は保たれるか？
• RQ4 可算なGBCモデルの点ごとの定義可能な拡張において、大基数の性質は保たれるか？
• RQ5 たとえば一般化されたクラスYを唯一のパラメータとして用いることで、すべての集合とクラスを一様に定義可能にする方法はあるか？

主な発見

• ZFCが一貫する限り、連続体個の点ごとの定義可能なZFCモデルが存在する。これは、たとえ単調なモデルであってもそうである。
• 任意の可算なGBCモデルは、クラスフォーシング拡張をもち、すべての集合とクラスがパラメータなしに定義可能である。
• この構成により、得られたモデル内のすべての対象が、集合論の言語における一階論理式によって一意に定義可能であることが保証される。
• フォーシングプロセスは、元のモデルからの標準的大基数の性質をすべて保つ。
• モデルはV = HODを満たし、点ごとの定義可能である。これは、数学お茶論法がこのようなモデルでは成立しないことを示している。
• 一般化されたクラスYは全宇宙を符号化しており、すべての集合とクラスがYのみから定義可能である。このため、モデルは点ごとの定義可能である。