[論文レビュー] Pointwise double recurrence and nilsequences

Idris Assani|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 20被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、任意の測度保存系および有界関数 $ f_1, f_2 $ に対して、重み付き二重再帰平均 $ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)c_n $ がほとんど everywhere の $ x $ に対して点wise収束することを確立している。ここで $ c_n $ は任意の $ k $-ステップニルシーケンスである。この結果は、ウィーナー＝ウィンターの定理を二重再帰に拡張し、収束をホスト＝クラー＝ツァイグル因子の直交補空間に関連づけるものであり、ニルシーケンス重みを用いたブルーゲンの二重再帰定理を一般化する。

ABSTRACT

Consider a system $(X, \mathcal{F}, μ, T)$, bounded functions $f_1, f_2 \in L^\infty(μ)$ and $a,b \in \ZZ.$ We show that there exists a set of full measure $X_{f_1, f_2}$ in $X$ such that for all $x \in X_{f_1, f_2}$ and for every nilsequence $b_n$ , the averages \[ \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)b_n \] converge. We will show that this can be deduced from the classical Wiener-Wintner theorem for the double recurrence theorem. Together with the past work on this subject, we will show that several statements regarding the extension of the double recurrence theorem are equivalent.

研究の動機と目的

• B. ワイスが提起した、ニルシーケンス重みを用いたJ. ブルーゲンの二重再帰定理の拡張に関する問題を解決すること。
• 一般の測度保存系において、ニルシーケンス重み付きの二重再帰平均の点wise収束を確立すること。
• 収束がすべてのニルシーケンスに対してほとんど everywhere で成立することを示し、その結果をホスト＝クラー＝ツァイグル因子の構造に関連づけること。
• 既存のウィーナー＝ウィンターおよび多項式二重再帰の結果を、ニルシーケンスの設定に統合・拡張すること。
• 関数の一つが $ k $-番目のホスト＝クラー＝ツァイグル因子の直交補空間にある場合、収束がゼロに一様に成り立つことの証明。

提案手法

• 単一重み付き平均の基礎的道具として、古典的ウィーナー＝ウィンターのエルゴディック定理を用いる。
• 重み付き平均を制御するための主要な要素として、ブルーゲンの二重再帰定理を適用する。
• ニルシーケンス（ニル多様体 $ G/\Gamma $ 上の基本的ニルシーケンスの均一極限として定義される）の概念を用い、指数関数的重み $ e^{2\pi i p(n)} $ を一般化する。
• 周波数または多項式に関する上界を扱うために、均一ウィーナー＝ウィンター定理およびその拡張を適用する。
• 平均の上界極限を制御するため、ヴァン・ダー・コルプの補題の変種およびシフト $ h_1, h_2, h_3 $ を含む多重平均における $ L^2 $-型推定を用いる。
• 優越収束定理および近似の議論を用いて、連続関数から $ L^\infty $ 関数への結果の拡張を密度による方法で行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ c_n $ がニルシーケンスであるとき、二重再帰平均 $ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)c_n $ がほとんど everywhere の $ x $ に対して点wise収束するか？
• RQ2 収束結果は、指数関数的および多項式的重みを超えて、一般のニルシーケンスへ拡張可能か？
• RQ3 ホスト＝クラー＝ツァイグル因子が、関数の一つがそれらの直交補空間にある場合に収束がゼロに一様に成り立つ役割を果たすか？
• RQ4 ニルシステムの構造は、ニルシーケンス重み付きの多重エルゴディック平均の収束とどのように関係するか？
• RQ5 収束結果は $ L^\infty $ での近似に対して安定的か？一般の有界関数へ拡張可能か？

主な発見

• 任意の系 $ (X,\mathcal{F},\mu,T) $、有界関数 $ f_1, f_2 \in L^\infty(\mu) $、任意の $ k $-ステップニルシーケンス $ c_n $ に対して、全測度集合 $ X_{f_1,f_2} $ が存在し、すべての $ x \in X_{f_1,f_2} $ に対して平均 $ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)c_n $ が収束する。
• $ T $ がエルゴディックで、$ f_1 $ もしくは $ f_2 $ が $ k $-番目のホスト＝クラー＝ツァイグル因子 $ \mathcal{Z}_k^\perp $ の直交補空間にある場合、平均はすべての $ k $-ステップニルシーケンスに一様にゼロに収束する。
• 平均の収束は、シフト $ h_1, h_2, h_3 $ を含む多重エルゴディック平均への分解、その後に $ L^2 $-推定および上界極限の制御により確立される。
• この手法により、$ \int\int \limsup_H \sup_t \left| \frac{1}{H}\sum_{h_1=0}^{H-1} V_1(T^{an}x)V_2(T^{bn}y)e^{2\pi i h_1 t} \right|^2 d\mu\otimes\mu \lesssim_{a,b} \min(\|V_1\|_3, \|V_2\|_3)^2 $ という評価が得られ、誤差項の成長を制御する。
• $ k \geq 3 $ の場合、帰納法を用いて証明が進み、三重平均の上界極限が $ \min(\|g_1\|_4, \|g_2\|_4) $ で有界であり、$ g_1 $ もしくは $ g_2 $ が $ \mathcal{Z}_{k-1}^\perp $ にある場合には消えることを示す。
• 連続関数における収束が $ L^\infty $-有界の場合に成立することを示唆するため、一般の $ L^\infty $ 関数に対しても近似により結果が拡張可能である。