[論文レビュー] Pointwise equidistribution for one parameter diagonalizable group action on homogeneous space

Ronggang Shi|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、同調空間上の1パラメータ$<em>\mathrm{Ad}$-対角化可能群作用について、点ごとの一様分布を確立する。具体的には、特定の不安定な水平超曲面部分群$U$のほとんどすべての$u$に対して、$T \to \infty$のとき、軌道$\{g_t u x\}_{0 \leq t \leq T}$が不変確率測度$\mu_{\overline{Gx}}$に関して一様分布することを証明する。主な結果は、不安定な水平超曲面部分群$G^+$上のハール測度が、任意の点$x \in L/\Gamma$において$(g_t, \mu_{\overline{Gx}})$-一般的であることを示しており、ユニポテンツ流に限らない一様分布結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

Let $Γ$ be a lattice of a semisimple Lie group $L$. Suppose that one parameter Ad-diagonalizable subgroup $\{g_t\}$ of $L$ acts ergodically on $L/Γ$ with respect to the probability Haar measure $μ$. For certain proper subgroup $U$ of the unstable horospherical subgroup of $\{g_t\}$ we show that given $x\in L/Γ$ for almost every $u\in U$ the trajectory $\{g_tux: 0\le t\le T\}$ is uniformly distributed with respect to $μ$ as $T o \infty$.

研究の動機と目的

• 同調空間上での1パラメータ$\mathrm{Ad}$-対角化可能群作用について、不変測度がハール測度に対して特異である場合を含めた点ごとの一様分布を調査すること。
• 不変測度がハール測度に対して特異であっても、不安定な水平超曲面部分群$G^+$上のハール測度が、任意の点$x \in L/\Gamma$において$(g_t, \mu_{\overline{Gx}})$-一般的であるかどうかを特定すること。
• 同調力学の文脈において、ユニポテンツ流から$\mathrm{Ad}$-対角化可能流への一様分布結果の拡張を実現すること。
• 不変測度がハール測度に対して特異であっても、$G^+$に台を持つ測度について、$g_t$作用下での軌道の一般性を確立すること。

提案手法

• 不安定な水平超曲面部分群$G^+$の$g_1$-拡張性を用い、$g_t$作用がリー代数$\mathfrak{g}^+$内のベクトルを拡張することを保証する。
• $\mathfrak{sl}_2$-三重項の表現論を適用し、1パラメータ群$\{g_t\}$の生成子$z$を含む半単純部分代数$\mathfrak{g}_1 \subset \mathfrak{g}$を構成する。
• 正根$\beta_i$に対応するルート空間からなるアーベル部分代数$\mathfrak{u} \subset \mathfrak{g}_1$を構成し、$\beta_i + \beta_j \notin \Phi^+$を満たすようにすることで、$\mathfrak{u}$がアーベル的かつ$g_1$-拡張的であることを保証する。
• 非自明な表現$\rho$に対して$\rho(z)v = av$（$a > 0$）が成り立つことから、$V^{\mathfrak{u}} \subset V^+$が従い、$U_a \leq G^+$が$g_1$-拡張的であることが確認される。
• 同調力学の文脈でバーキホフのエルゴード定理を適用し、$f \in C_c(L/\Gamma)$に対して、$f(g_t u x)$の時間平均が$\mu_{G^+}$-ほとんど everywhereの$u$に対して$\int f \, d\mu_{\overline{Gx}}$に収束することを示す。
• 実半単純リー群の構造、カタン分解、ルート空間分解を用いて、$L/\Gamma$上での$g_t$作用の力学的性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変測度がハール測度に対して特異であっても、$\mathrm{Ad}$-対角化可能1パラメータ流に対して、不安定な水平超曲面部分群$G^+$上のハール測度が、任意の点$x \in L/\Gamma$において$(g_t, \mu_{\overline{Gx}})$-一般的であるか。
• RQ2 不変測度が全ハール測度でない場合に、$\mathrm{Ad}$-対角化可能流に対して点ごとの一様分布を確立できるか。
• RQ3 $T \to \infty$のとき、軌道$\{g_t u x\}_{0 \leq t \leq T}$がどの条件下で$\mu_{\overline{Gx}}$に関して一様分布するか。
• RQ4 リー代数およびルート系のどの構造的性質が、$U \leq G^+$が$g_1$-拡張的であることを保証するか。

主な発見

• 定理1.1の仮定の下で、不安定な水平超曲面部分群$G^+$上のハール測度は、任意の点$x \in L/\Gamma$において$(g_t, \mu_{\overline{Gx}})$-一般的である。
• $G^+$のほとんどすべての$u$に対して、$T \to \infty$のとき、軌道$\{g_t u x\}_{0 \leq t \leq T}$は$\mu_{\overline{Gx}}$に関して一様分布する。
• $\mathfrak{sl}_2$-三重項とルート空間分解を用いた$g_1$-拡張的アーベル部分群$U_a \leq G^+$の構成により、一様分布に必要な拡張性が保証される。
• 主な技術的ステップは、表現論を用いて$V^{\mathfrak{u}} \subset V^+$を示すことであり、これにより$U_a$が$g_1$-拡張的であることが従う。
• $g_1$が$G$の各単純因子に非自明に射影されることを条件とすることで、非退化な拡張性が保証される。
• $G = \mathrm{SL}_2(\mathbb{R}) \times \{1\} \subset \mathrm{SL}_3(\mathbb{R})$, $\Gamma = \mathrm{SL}_3(\mathbb{Z})$のケースにも適用可能であり、この場合、結果は新規かつ非自明である。