[論文レビュー] Pointwise ergodic theorems in symmetric spaces of measurable functions

Vladimir Chilin, Doğan Çömez+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、1が空間に属さない無限測度空間上の可測関数の完全対称空間において、Dunford-Schwartz作用素の点ごとのエルゴード定理を確立する。従来のおよび重み付きエルゴード平均のほとんど everywhere 収束を証明し、Lorentz空間およびOrlicz空間の技法を用いて、Dunford-Schwartzの定理とWiener-Wintnerの定理をこのより広い対称空間のクラスへ拡張する。収束は有界なBesicovitch列および関数 f∈E に対して成り立つ。

ABSTRACT

For a Dunford-Schwartz operator in a fully symmetric space of measurable functions of an arbitrary measure space, we prove pointwise convergence of the conventional and weighted ergodic averages.

研究の動機と目的

• 無限測度空間上の可測関数の完全対称空間へ、古典的Dunford-Schwartz点ごとのエルゴード定理を拡張すること。
• 特に有界なBesicovitch列に対して、そのような空間における重み付きエルゴード平均の収束を確立すること。
• 特性関数1が空間に属さない完全対称空間へ、Wiener-Wintnerエルゴード定理を一般化すること。
• 1∉E である完全対称空間のクラスが、1≤p<∞ に対する L^p 空間のクラスよりも厳密に大きいことを示すこと。
• σ-有限測度に対するReturn Times定理を用いて、Fatou性質を備えた対称空間の文脈で収束結果を証明すること。

提案手法

• 完全対称空間を定義するために、非増加順序の再配列 μ_t(f) と劣大支配（g≺≺f）の概念を用いること。
• 対称空間におけるFatou性質を活用し、測度位相 t_μ における単位球の閉性を保証すること。
• σ-有限測度空間に対するReturn Times定理を応用し、軌道に沿った平均の収束を導出すること。
• 絶対収縮作用素がこの設定においてDunford-Schwartz作用素と一致することを示し、問題を実数値関数に還元すること。
• 有界なBesicovitch列を三角多項式で近似し、重み付き平均の差を制御すること。
• 1∉E である完全対称空間のモデルとして、μ_t(f)→0 (t→∞) となる関数の空間 R_μ を用い、このような空間が R_μ に含まれることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性関数1が空間に属さない可測関数の完全対称空間へ、Dunford-Schwartz点ごとのエルゴード定理を拡張できるか？
• RQ2 このような対称空間において、有界なBesicovitch列 {b_k} に対して、重み付きエルゴード平均がほとんど everywhere に収束する条件は何か？
• RQ3 1∉E である完全対称空間において、Wiener-Wintnerエルゴード定理は成り立つか？また、どのような重みのクラスに対して成り立つか？
• RQ4 特にFatou性質と劣大支配を備えた対称空間の性質が、L^p 空間を超えたエルゴード定理の拡張をどのように支援するか？
• RQ5 測度位相 t_μ は、完全対称空間におけるエルゴード平均の収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の1∉E である完全対称空間 E と、σ-有限測度空間上のDunford-Schwartz作用素 T に対して、すべての f∈E に対して、(1/n)∑_{k=0}^{n-1} T^k f がほとんど everywhere に収束する。
• 収束はすべての有界なBesicovitch列 {b_k} に対して成り立ち、Wiener-Wintner定理が1∉E である完全対称空間へ拡張される。
• f∈L^1(Ω)∩L^∞(Ω) ならば、任意の有界なBesicovitch列 {b_k} に対して、重み付きエルゴード平均は a.e. に収束し、f∈R_μ に対しても近似によりこの結果が拡張される。
• 空間 R_μ は1∉R_μ を満たす完全対称空間であり、L^1∩L^∞ の L^1+L^∞ における閉包として与えられ、定理の自然な例のクラスを提供する。
• f∈E で1∉E ならば、任意の有界なBesicovitch列 {b_k} に対して、全測度集合 Ω_f が存在し、すべての ω∈Ω_f に対して、(1/n)∑_{k=0}^{n-1} b_k f(τ^k(ω)) が収束する。
• 証明は三角多項式による近似と、b_k とその近似との差の均一な制御に依拠し、誤差項は ε·||f||_∞ に比例し、ε→0 のとき消える。