[論文レビュー] Pointwise ergodic theorems with rate and application to limit theorems for stationary processes

Christophe Cuny|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、スペクトル理論とDerriennic-Lin法の最近の拡張を用いて、測度保存変換の下での$L^2$関数に対する明示的な収束速度を伴う点ごとのエルゴード定理を確立する。これらの結果を用いて、特に正規遷移作用素をもつマルコフ連鎖からの関数として得られる定常過程に対して、繰り返し対数法則（LIL）およびクエンチド中心極限定理（CLT）を導出する。

ABSTRACT

We obtain pointwise ergodic theorems with rate under conditions expressed in terms of the convergence of series involving $\|\sum_{k=1} ^nf\circ θ^k\|_2$, improving previous results. Then, using known results on martingale approximation, we obtain some LIL for stationary ergodic processes and quenched central limit theorems for functional of Markov chains. The proofs are based on the use of the spectral theorem and, on a recent work of Zhao-Woodroofe extending a method of Derriennic-Lin.

研究の動機と目的

• 測度保存変換の下での$L^2$関数に対する明示的な収束速度を伴う点ごとのエルゴード定理を確立すること。
• スペクトル理論とDerriennic-Lin法の最近の進展を用いて、マルティングル近似およびエルゴード収束に関する既存の結果を改善すること。
• 特にマルコフ連鎖から生じる関数に対して、関数的繰り返し対数法則（LIL）およびクエンチド中心極限定理（CLT）を導出すること。
• スペクトル測度を用いて、部分和とそのマルティングル近似との$L^2$ノルムの差を精密に制御すること。
• ユニタリ作用素から正規作用素へ結果を拡張し、正規マルコフ連鎖を含むより広いクラスの確率過程への適用可能性を拡大すること。

提案手法

• 正規作用素のスペクトル定理を用いて、スペクトル測度$\mu_f$を介してエルゴード平均の収束を分析する。
• ギャポシキン（1970）の補題5の一般化をユニタリおよび正規作用素に適用し、エルゴード和の$L^2$ノルムをスペクトル測度上の積分に関連付ける。
• 系列$\chi(n)\mu_f(D_n)$の収束と、$\sum \chi(n)\|U_n(f)\|^2 / n^3$の収束との間の同値性を確立する。ここで$U_n(f) = \sum_{k=1}^n T^k f$である。
• マクスウェル＝ウッズルーズおよびキプニス＝バラダハンのマルティングル近似フレームワークを用いて、定常過程の$\|S_n - M_n\|_2$を制御する。
• $G_t$変換とリゾルベント技術を用いて近似マルティングルを構成し、部分和とマルティングルとの$L^2$誤差を推定する。
• $t \to 1^-$のとき、$L^2(\mu_f)$におけるLebesgueの優越収束定理を用いて、リゾルベント型作用素の収束を示し、収束速度の制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル測度$\mu_f$にどのようなスペクトル的条件が課されると、エルゴード平均$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f \circ \theta^k$が与えられた速度でほとんど確実に収束するか？
• RQ2 スペクトル定理とDerriennic-Lin法の最近の拡張を用いて、点ごとのエルゴード定理における収束速度の見積もりをどのように改善できるか？
• RQ3 スペクトル測度にどのような条件が課されると、部分和$S_n$とそのマルティングル近似$M_n$との差がほとんど確実に収束するか？
• RQ4 マルティングル近似法をどのように精緻化すれば、定常過程に対して関数的繰り返し対数法則（LIL）およびクエンチド中心極限定理（CLT）を得られるか？
• RQ5 マルコフ連鎖の遷移作用素が正規である場合、$\|S_n - M_n\|_2$の制御において、結果がどのように改善されるか？

主な発見

• 関数$\chi$が緩やかな増加および指数的分離を満たす条件のもとで、$\int_{D_1} |\varphi(z)| \, d\mu_f(z)$の収束と、$\sum_{n \geq 1} \chi(2^n) \mu_f(D_{2^n})$の収束との同値性が確立される。
• 系列$\sum_{n \geq 1} \frac{\chi(n) \|U_n(f)\|^2}{n^3} < \infty$が、$|\varphi(z)|$の$\mu_f$に関する可積分性と同値であることを証明し、収束速度制御のための重要な基準を提供する。
• 差$W_n = S_n(f) - M_n$に対して、$\mathbb{E}_m[\|W_n\|^2] \leq C_3 \left( \sum_{k=1}^{n-1} \frac{\|U_k(f)\|^2}{k} + n \int_{D_n} \frac{\mu_f(dz)}{|1-z|} \right)$という評価を得る。これは、マルティングル近似における$L^2$誤差を制御するものである。
• $\sum_{n \geq 1} \frac{\|U_n(f)\|^2}{n^2} < \infty$という条件のもとで、$\|S_n - M_n\|_2 = O(1)$が示され、これはクエンチドCLTおよびLILがほとんど確実に成り立つのに十分である。
• 遷移作用素が正規である場合、スペクトル測度$\mu_f$は単位円上に台を持つため、$\|S_n - M_n\|_2$の制御がより鋭くなり、収束速度が向上する。
• もし$\int_{D} \frac{\mu_f(dz)}{|1-z|} < \infty$ならば、$\|S_n - M_n\|_2 = O(1)$が成り立つことを証明し、これはクエンチドCLTおよびLILがほとんど確実に成立するのに十分である。