[論文レビュー] Poisson approximation for the number of visits to balls in nonuniformly hyperbolic dynamical systems

Jean-René Chazottes, Pierre Collet|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、指数的尾部帰還時間と1次元の不安定多様体を有するヤングタワーでモデル化された非一様的混合力学系における小さな球への訪問回数について、ポアソン近似を確立する。指数的相関減衰とベシコビッチ被覆による幾何的推定を用い、典型な中心に関して、時間 $ t / \mu(B_r(x)) $ までの訪問回数が、明示的な誤差項 $ r^a $ を伴いポアソン分布に収束することを証明する。また、『悪い』中心の集合の $ \mu $-測度は $ \leq C r^b $ である。この結果はヘノンアトラクタや分散ビリヤードなどに適用可能である。

ABSTRACT

We study the number of visits to balls B_r(x), up to time t/mu(B_r(x)), for a class of non-uniformly hyperbolic dynamical systems, where mu is the SRB measure. Outside a set of `bad' centers x, we prove that this number is approximately Poissonnian with a controlled error term. In particular, when r-->0, we get convergence to the Poisson law for a set of centers of mu-measure one. Our theorem applies for instance to the Hénon attractor and, more generally, to systems modelled by a Young tower whose return-time function has a exponential tail and with one-dimensional unstable manifolds. Along the way, we prove an abstract Poisson approximation result of independent interest.

研究の動機と目的

• 非一様的混合力学系における小さな球 $ B_r(x) $ への訪問回数のポアソン近似を確立すること。
• 典型な中心 $ x $ におけるポアソン近似の誤差を、球の半径 $ r $ の関数として明示的な境界で定量化すること。
• ポアソン近似が成り立たない『悪い』中心の集合 $ \widehat{\mathcal{M}}_r $ を特定し、その $ \mu $-測度が $ \leq C r^b $ であることを示すこと。
• シリンダ集合に限らない幾何的集合（球）に対し、ポアソン近似を高次元の非一様的混合系に拡張すること。
• 強い混合性を持つ系に適用可能な、誤差項を制御可能な一般化された抽象的ポアソン近似結果を提供すること。

提案手法

• 指数的尾部帰還時間と1次元の不安定多様体を有する非一様的混合系をヤングタワー構造でモデル化すること。
• 混合性を制御し、過去の訪問の記憶を制限するために、相関の指数的減衰を適用すること。
• 訪問ダイナミクスにおける幾何的重複を制御するために、ベシコビッチ被覆補題を用いて球殻の測度を推定すること。
• 訪問回数分布とポアソン分布との全 variation 距離の推定を通じて、明示的な誤差境界を導出すること。
• 安定・不安定多様体に沿った一様な収縮・拡張性質を用いて、球の繰り返し写像とその近傍との交点数を境界すること。
• 訪問の前触れとなる集合 $ \mathscr{V}_p(x,r) $ を構成し、その測度を境界するために、球殻集合 $ \widetilde{\mathscr{C}}_{r,p\log\alpha/\log r}(x) $ と比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数的尾部帰還時間と1次元の不安定多様体を有する非一様的混合系のどのクラスに対して、小さな球への訪問回数がポアソン分布に収束するか。
• RQ2 訪問回数分布のポアソン分布への収束速度は何か。また、これは球の半径 $ r $ にどのように依存するか。
• RQ3 ポアソン近似が失敗する『悪い』中心 $ x $ の集合はどれほど大きく、その集合は定量的に制御可能か。
• RQ4 シリンダ集合に限定されず、球のような幾何的集合に対してもポアソン近似を確立できるか。
• RQ5 ベシコビッチ被覆補題のような幾何的・測度論的道具が、訪問回数統計の明示的誤差境界を導出する上で果たす役割は何か。

主な発見

• ヤングタワーでモデル化され、指数的尾部帰還時間と1次元の不安定多様体を有する非一様的混合系のクラスに対して、時間 $ \lfloor t / \mu(B_r(x)) \rfloor $ までの $ B_r(x) $ への訪問回数は、すべての $ t > 0 $ および $ k \geq 0 $ に対して、誤差 $ \leq C r^a $ を伴いポアソン分布に近似可能であり、$ x \notin \widehat{\mathcal{M}}_r $ の場合に限る。
• 『悪い』中心の集合 $ \widehat{\mathcal{M}}_r $ の $ \mu $-測度は $ C r^b $ で有界であり、$ r \to 0 $ の極限でほとんど至る所の中心がポアソン近似を満たすことを示唆する。
• $ r \to 0 $ のとき、$ \mu $-ほとんど至る所の中心 $ x $ に対して、訪問回数分布はポアソン分布に収束する。これはカックの補題からの直感的期待と一致する。
• 誤差境界 $ C r^a $ は明示的であり、球殻の幾何的推定と、訪問回数分布とポアソン分布との全 variation 距離の推定から生じる。
• この結果はヘノンアトラクタ、1次元の不安定多様体を有するアキソムAアトラクタ、および有限ホライズンの分散ビリヤードといった具体的な系に適用可能である。
• 指数的相関減衰とベシコビッチ被覆補題による幾何的制御に依拠する、誤差項を制御可能な抽象的ポアソン近似結果が確立され、独立に価値のある結果である。