[論文レビュー] Poisson Approximation of Processes with Locally Independent Increments with Markov Switching

В. С. Королюк, Nikolaos Limnios+1 more|ArXiv.org|Oct 19, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、局所的独立増分とマーカフスイッチングを有する過程の加法的関数型のポアソン近似スキームにおける弱収束を確立する。リプツェルの半マルチンゲールアプローチを特異的摂動技法（エルゴード定理の置換）と組み合わせることで、予測可能特性の収束を証明し、平均化係数によって制御されるドリフト、拡散、ジャンプ成分を有するマルコフ過程としての極限過程を特定する。

ABSTRACT

In this paper, the weak convergence of additive functionals of processes with locally independent increments and with Markov switching in the scheme of Poisson approximation is proved. For the relative compactness, a method proposed by R. Liptser for semimartingales is used with a modification, where we apply a solution of a singular perturbation problem instead of an ergodic theorem.

研究の動機と目的

• 局所的独立増分とマーカフスイッチングを有する過程の加法的関数型のポアソン近似スキームにおける弱収束を確立すること。
• 予測可能特性の依存性という課題を、エルゴード定理に代えて特異的摂動法を用いることで解決すること。
• 時間スケーリングパラメータ ε → 0 の下で、半マルチンゲール特性の相対的コンパクトネスおよび収束を証明すること。
• 極限過程が、平均化されたダイナミクスから導かれるドリフト、拡散、ジャンプ成分を有するマルコフ過程として特定されることを示すこと。
• ジャコドとシルヤエフ（2003）の定理IX.3.27を用いて収束を検証し、タイトネスおよび特性収束条件が満たされていることを確認すること。

提案手法

• リプツェルの半マルチンゲール弱収束法を適用し、コンパクト包含条件およびモーメント条件に注目する。
• パラメータ ε → 0 の時間スケーリングスキームを用い、小さなジャンプは ε⁻¹ 強度で正規化する。
• 加法的関数型を ξ^ε(t) = ξ₀^ε + ∫₀ᵗ η^ε(ds; x(s/ε)) としてモデル化し、η^ε を局所的独立増分過程とみなす。
• 結合過程 (ξ^ε, x^ε) を、生成子 ℒ^ε = ε⁻¹ℚ + Γ̃^ε + B^ε を持つ三成分マルコフ過程として表現する。
• 生成子 ℒ^εφ^ε = ℒ̂φ + θ^εφ の特異的摂動問題を解き、有効生成子 ℒ̂ = B̂ を得る。
• 特異的摂動問題の解を用いて予測可能特性の収束を検証し、定理IX.3.27の条件が満たされることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン近似スキームにおいて、マーカフスイッチングを伴う局所的独立増分過程の加法的関数型の弱収束は確立可能か？
• RQ2 収束証明において、予測可能特性がプロセス自身に依存するという問題は、どのように解決できるか？
• RQ3 特異的摂動は、半マルチンゲール特性の収束において、エルゴード定理を置き換える役割を果たすか？
• RQ4 極限過程の形は何か？ そのドリフト、拡散、ジャンプ成分はどのように特徴づけられるか？
• RQ5 半マルチンゲール表現 ξ^ε が相対的コンパクトネスおよび収束を満たす条件は何か？

主な発見

• ξ^ε の半マルチンゲール表現は、コンパクト包含条件（CCC）およびモーメントバウンドを満たし、相対的コンパクトネスが保証される。
• 生成子に対する特異的摂動問題の解を介して、半マルチンゲールの予測可能特性の収束が実証される。
• 極限過程 ξ⁰(t) は、予測可能特性 B⁰(t) = ∫₀ᵗ b(ξ⁰(s))ds、C⁰(t) = ∫₀ᵗ c(ξ⁰(s))ds、および Γ⁰_g(t) = ∫₀ᵗ Γ_g(ξ⁰(s))ds を有するマルコフ過程である。
• 極限過程の有効生成子は ℒ̂ = B̂ であり、ドリフト係数 b̂ は高速なマーカフスイッチング過程にわたる平均化によって得られる。
• C1–C4 の条件（初期値の一様可積分性および有界性を含む）の下で、ε → 0 の下で ξ^ε(t) ⇒ ξ⁰(t) の収束が確立される。
• 最終的な収束結果は、ジャコドとシルヤエフ（2003）の定理IX.3.27に従い、タイトネス、支配性、特性収束のすべての条件が検証済みである。