[論文レビュー] Poisson brackets with divergence terms in field theories: two examples

L. A. Dickey|ArXiv.org|Mar 1, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ブラケット密度に散発項が含まれる場の理論におけるポアソン括弧を調査しており、その散発項がジャコビ恒等式に影響を与え、標準的でないジャコビ関係を破る三重線形形式を生じさせる。整数可能な系の2つの例を用いて、ディッキーはこの三重線形形式が高次ジャコビ恒等式を満たすことを示し、境界項を含む場の理論における非標準的ポアソン構造を理解するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

In field theories one often works with the functionals which are integrals of some densities. These densities are defined up to divergence terms (boundary terms). A Poisson bracket of two functionals is also a functional, i.e., an integral of a density. Suppose the divergence term in the density of the Poisson bracket be fixed so that it becomes a bilinear form of densities of two functionals. Then the left-hand side of the Jacobi identity written in terms of densities is not necessarily zero but a divergence of a trilinear form. The question is: what can be said about this trilinear form, what kind of a higher Jacobi identity (involving four fields) it enjoys? Two examples whose origin is the theory of integrable systems are given.

研究の動機と目的

• 関数のポアソン括弧における散発項の影響を理解すること。
• ブラケット密度に散発項を固定した場合、ジャコビ恒等式がどのように変更されるかを分析すること。
• 標準的ジャコビ恒等式の不成立に起因する三重線形形式の代数的構造を特定すること。
• この三重線形形式が満たす高次ジャコビ恒等式（4つの場を含むもの）を調査すること。
• このような構造が整数可能な系の具体的な例として自然に現れるかを提示すること。

提案手法

• 密度の積分として定義される関数の汎関数を検討し、その密度は散発項の違いを除いて定義される。
• 2つの関数の汎関数のポアソン括弧における散発項を固定し、密度の双線形形式としてブラケットを定義する。
• ジャコビ恒等式の左辺を場の三重線形形式の発散として表現する。
• 整数可能な場の理論の構造を用いて、この三重線形形式の代数的性質を導出する。
• 一般枠組みを説明するために、整数可能な系理論からの2つの具体的な例を構築する。
• 解析は、三重線形形式が満たす整合性条件と高次ジャコビ恒等式に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン括弧に固定された散発項が含まれる場合、ジャコビ恒等式にどのように影響を与えるか？
• RQ2 標準的ジャコビ恒等式の不成立に起因する三重線形形式が持つ代数的構造は何か？
• RQ3 この三重線形形式が満たす高次恒等式（4つの場を含むもの）は何か？
• RQ4 このような構造は、既知の整数可能な場の理論で実現可能か？
• RQ5 境界項は、場の理論における整合的なポアソン括弧を定義する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 固定された散発項を含むポアソン括弧のジャコビ恒等式は恒等的にゼロではなく、三重線形形式の発散として表される。
• この三重線形形式は、4つの場を含む高次ジャコビ恒等式を満たし、標準的ジャコビ関係を一般化する。
• 三重線形形式の構造は、整数可能な系の代数的枠組みと整合的である。
• この形式が適用可能な、整数可能な場の理論からの2つの明示的例が構築された。
• ブラケットにおける散発項は、関数の密度の双線形形式として固定され、ブラケット定義の整合性が保証される。
• 結果として、このようなポアソン括弧は、修正されたジャコビ条件のもとでも整合的かつ閉じていることが示された。