[論文レビュー] Poisson cohomology of a class of log symplectic manifolds

Melinda Lanius|arXiv (Cornell University)|May 12, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、rigged algebroid のアプローチを用いて、b-対称的コホロジーを一般化し、横断的超曲面を伴うクラスのログシンプレクティック多様体のポアソンコホロジーを計算する。主な結果は、除数の交わりごとの直接和としてポアソンコホロジーを特定し、 canonical line bundle を用いたねじれコホロジー項を含むことにより、b-シンプレクティック構造における既知の結果を拡張することである。

ABSTRACT

We compute the Poisson cohomology of a class of Poisson manifolds that are symplectic away from a collection $D$ of hypersurfaces. These Poisson structures induce a generalization of symplectic and cosymplectic structures, which we call a k-cosymplectic structure, on the intersection of hypersurfaces in $D$.

研究の動機と目的

• 正規交叉除数 D を持つログシンプレクティック多様体のポアソンコホロジーを計算し、b-シンプレクティック構造における既知の結果を拡張すること。
• ログシンプレクティック設定における、特異超曲面上のコサインプレクティック構造を、より高いcodimensionの交わりへ一般化すること。
• ログシンプレクティック形式によって誘導される特異ポアソン構造を扱うために、rigged algebroid を用いたコホロロジー枠組みを構築すること。
• ポアソンコホロジーの正確な分解を、周囲多様体のde Rhamコホロジーおよび除数交わりにおけるねじれコホロジーの観点で特定すること。

提案手法

• 正規交叉除数 D を持つ多様体上での b-接ベクトル束の Lie algebroid コホロジーを用いて、ポアソンコホロジーをモデル化するための rigged algebroid の構成を用いる。
• 文献[6]の Lie algebroid コホロジー同型を適用し、b-コホロジーを除数成分の交わりごとの直接和として表現する。
• 除数成分の定義関数に関して、対数微分形式の複体にフィルトレーションを導入し、交わりにおけるコホロジーの帰納的計算を可能にする。
• 除数成分の定義関数の変数変換に関して、コホロジー類の不変性を示すために、変数変換の議論を用いる。
• 除数交わりの近傍における局所モデルで微分作用素の核と像を解析することにより、対数シンプレクティック複体のコホロジーを導出する。
• ポアソンコホロジーが、除数成分のすべての可能な交わりごとの和に分解され、各ストラトゥムにおけるねじれコホロジー項を含むことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規交叉除数 D を持つログシンプレクティック多様体のポアソンコホロジーは、周囲多様体のコホロジーおよびそのストラトゥムの観点から、どのように分解されるか？
• RQ2 ログシンプレクティック設定における、除数成分の横断的交わり上で生じるコサインプレクティック構造の一般化は何か？
• RQ3 ポアソンコホロジーは、b-接ベクトル束上の Lie algebroid 構造を介して計算可能か？また、b-シンプレクティックの場合と比べてどう異なるか？
• RQ4 除数交わり上の canonical line bundle は、ログシンプレクティックポアソン構造のコホロジー分解において、どのような役割を果たすか？
• RQ5 除数成分の定義関数の変更は、ポアソン複体内のコホロジー類にどのように影響するか？

主な発見

• ログシンプレクティック多様体のポアソンコホロジーは、周囲多様体の de Rham コホロジーと、除数交わり格子のすべてのストラトゥムにおけるねじれコホロジー群の直接和に同型である。
• 除数成分の交わりによって定義される各ストラトゥムに対して、そのコホロジーにはストラトゥムの余法線束の双対、特に各成分に対して |N^*Z|^{-1} を含む項が含まれる。
• コホロジー分解には、除数成分のすべての可能な部分集合からの寄与が含まれ、全次数シフトは、関与する成分の数と種別に依存する。
• 各ストラトゥムにおけるコホロジーは、除数成分の定義関数の変更に対して不変であり、適切に定義された幾何的構造を保証する。
• 最終的な結果は、b-シンプレクティックコホロジー公式 H^p_π(M) ≃ H^p(M) ⊕ H^{p-1}(Z) を、ねじれ係数を伴うすべての除数交わりへの完全な分解へ一般化する。
• コホロジーは、次の式によって完全に特徴づけられる： ^bH^p(M) ≃ H^p(M) ⊕ ⨁_{I,J,K,L} H^{p-m}(∩Z; ⊗|N^*Z|^{-1}) ここで m = 2|I| + |J| + |K| + |L| であり、I,J,K,L は I ≠ ∅ かつ I ∩ J = I ∩ K = ∅ を満たすインデックス集合である。