[論文レビュー] Poisson deformations and birational geometry

Yoshinori Namikawa|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、$ \mathbb{C}^* $-作用をもつアフィンシンプレクティック多様体 $ X $ のクレパント解消 $ \pi: Y \to X $ の第二コホモロジー群 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ における、2つの幾何的構造の深い等価性を確立する。1つは、異なる解消のアーモニクスコーンから得られる部屋構造であり、もう1つは、$ Y $ のポアソン変形がアフィンでなくなる場所 $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ から得られる部屋構造である。主な結果は、これら2つの部屋構造が一致することであり、これにより双有理幾何とポアソン変形理論が統合される。

ABSTRACT

Let \pi: Y -> X be a crepant projective resolution of an affine symplectic variety X with a good C^*-action. We interpret the second cohomology H^2(Y, C) in two ways. First, H^2(Y, C) is the Picard group of Y tensorised with C. By the ample cones of different crepant resolutions of X, there is a natural chamber structure in H^2(Y, C). The second interpretation of H^2(Y, C) is the base space of the universal Poisson deformation $\mathcal Y$ of Y. Let D \subset H^2(Y, C) be the locus where the corresponding Poisson varieties are not affine. Then D is the union of finite number of hyperplanes, which gives a chamber structure in H^2(Y, C). These two chamber structures coincide.

研究の動機と目的

• アフィンシンプレクティック多様体 $ X $ のクレパント解消 $ Y \to X $ の第二コホモロジー群 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ の幾何的構造を理解すること。
• 異なるクレパント解消のアーモニクスコーンから生じる部屋構造を、$ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 上のポアソン幾何的構造に関連付けること。
• ポアソン変形がアフィンでなくなる場所 $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ が、双有理幾何的部屋構造と一致する部屋構造を定義すること。

提案手法

• $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ を複素化されたピック群 $ \operatorname{Pic}(Y) \otimes \mathbb{C} $ として解釈し、ラインバンドの正性とアーモニクスコーンとを結びつける。
• $ X $ に良い $ \mathbb{C}^* $-作用が存在することを用いて、解消 $ Y $ が良好な幾何的およびコホモロジー的性質を持つことを保証する。
• ポアソン構造の変形理論を用いて、基底空間が $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ である普遍ポアソン変形 $ \mathcal{Y} $ を構成する。
• パラメータが対応するポアソン多様体がアフィンでない場合の集合として、$ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ を定義する。
• $ D $ が有限個の超平面の和集合であることを示し、これにより $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ に部屋構造が定義されることを示す。
• このポアソン幾何的部屋構造が、異なるクレパント解消のアーモニクスコーンから生じる双有理部屋構造と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なるクレパント解消のアーモニクスコーンから生じる部屋構造は、$ Y $ 上のポアソン変形理論とどのように関係するか？
• RQ2 ポアソン変形がアフィンでなくなる場所 $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ の幾何的性質は何か？
• RQ3 双有理幾何からの部屋構造は、$ H^2(Y, \mathbb{C}) $ であるポアソン変形の基底空間から回復可能か？
• RQ4 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 内で、双有理部屋構造とポアソン部屋構造の間に標準的な同一視が存在するか？

主な発見

• $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ には、$ X $ の異なるクレパント解消のアーモニクスコーンから生じる自然な部屋構造があり、これは双有理幾何を反映している。
• $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ はまた、$ Y $ の普遍ポアソン変形 $ \mathcal{Y} $ をパラメトライズするモジュライ空間としても機能する。
• $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ は、ポアソン変形がアフィンでないパラメータの集合として定義され、これは有限個の超平面の和集合であるため、$ H^2(Y, \mathbb{C}) $ に部屋構造を定義する。
• このポアソン幾何的部屋構造は、異なるクレパント解消のアーモニクスコーンから生じる部屋構造と同一である。
• これらの2つの部屋構造の一致は、シンプレクティック解消の文脈における双有理幾何とポアソン変形理論の深い結びつきを確立する。
• この結果は、$ X $ が良い $ \mathbb{C}^* $-作用をもつアフィンシンプレクティック多様体であるという仮定のもとで成り立つ。この仮定により、必要な幾何的制御が保証される。