[論文レビュー] Poisson law for some nonuniformly hyperbolic dynamical systems with polynomial rate of mixing

Françoise Pène, Benoît Saussol|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、多様体上の非一様的双曲的力学系で相関関数の多項式減衰を示す系に対して、小さな球への訪問回数のポアソン極限定理を確立する。帰還率とギブス・マルコフ・ヤング塔の混合推定を用い、帰還時間の多項式的尾部分布を持つ系において、$ \mu $-ほとんど everywhere での $ x $ に対して、$ r \to 0 $ のとき、球 $ B(x,r) $ への正規化された訪問回数がポアソン分布に収束することを証明する。これは、系の不変測度に関する幾何的および測度論的仮定が緩い条件下で成り立つ。

ABSTRACT

We consider some nonuniformly hyperbolic invertible dynamical systems which are modeled by a Gibbs-Markov-Young tower. We assume a polynomial tail for the inducing time and a polynomial control of hyperbolicity, as introduced by Alves, Pinheiro and Azevedo. These systems admit a physical measure with polynomial rate of mixing. In this paper we prove that the distribution of the number of visits to a ball B(x, r) converges to a Poisson distribution as the radius r $\ o$ 0 and after suitable normalization.

研究の動機と目的

• 非一様的双曲的力学系で相関関数の多項式減衰を示す系に対して、小さな球への訪問回数のポアソン極限定理を確立すること。
• 従来の力学系におけるポアソン法則の結果を、任意に遅い多項式的混合率を持つ状況へと拡張すること。
• 可 summable な相関関数の減衰が欠けている状況を、帰還率推定と混合制御による球の近似によって克服すること。
• 不変測度が絶対連続である場合を含め、球の冠の測度に関する幾何的仮定を最小限に抑えた状況でポアソン極限定理が成り立つことを検証すること。

提案手法

• 帰還時間の多項式的尾部分布と双曲性の多項式的制御を持つギブス・マルコフ・ヤング塔を用いて、系をモデル化すること。
• 帰還時間のスケーリングが $ \mu $-ほとんど everywhere での $ x $ に対して $ r^{-\dim_H \mu} $ に比例することを示す帰還率推定を用いること。
• 球で定義される集合の混合推定を確立するため、球を近似し、条件 (3) による $ \mu(B(x,r+s)\setminus B(x,r)) $ の成長に関する測度を制御すること。
• 相関関数の減衰と短い帰還の制御に基づく抽象的なポアソン近似結果を適用し、短い帰還の詳細な解析を帰還率の議論に置き換えること。
• ホルダー連続性と密度の $ L^p $-可積分性を用いて、絶対連続測度に対して条件 (3) が成り立つことを確認し、$ a=1/q $、$ b=(1+d(q-1))/q $ とすること。
• 測度の冠が速く成長しないように保証するため、$ \alpha \dim_H \mu > b/a $ の仮定のもとでポアソン極限定理が成り立つことを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様的双曲的系で相関関数の多項式的混合を示す系において、球の半径を 0 に近づけると、小さな球への訪問回数はポアソン分布に収束するか？
• RQ2 相関関数の減衰が多項式的で、かつ任意に遅い場合でも、ポアソン極限定理は成り立つか？
• RQ3 軌道の小さな球への帰還率が、このような系におけるポアソン極限定理の有効性にどのように影響するか？
• RQ4 不変測度に関する幾何的および測度論的条件は、どのようなものか？ それらがポアソン極限定理の成立を保証するか？

主な発見

• 球 $ B(x,r) $ への訪問回数を $ \mu(B(x,r)) $ で正規化した量は、$ r \to 0 $ のとき、$ \mu $-ほとんど everywhere での $ x $ に対して分布収束でポアソン分布に収束する。
• 冠の測度が $ \mu(B(x,r+s)\setminus B(x,r)) \leq C_0 s^a r^{-b} \mu(B(x,2r)) $ を満たすという仮定のもとで、ポアソン極限定理が成り立つ。ここで $ \alpha \dim_H \mu > b/a $ が成り立つ。
• 帰還率は $ \mu $-ほとんど everywhere での $ x $ に対して $ \min\{n \geq 1 : d(f^n x, x) < r\} \approx r^{-\dim_H \mu} $ に比例する。これにより、短い帰還の詳細な解析を回避できる。
• 絶対連続不変測度を持つ系では、密度が連続であれば条件 (3) が a.e. で $ a=1 $、$ b=1 $ と成り立ち、密度が $ L^p $（$ p>1 $）に属する場合、$ a=1/q $、$ b=(1+d(q-1))/q $ と成り立つ。
• この結果は、不変測度が絶対連続で、混合率が多項式的な系（例：スタジアムビリヤード、間欠的を示すソリノイド写像など）に適用可能である。