[論文レビュー] Poisson-Lie group of pseudodifferential symbols and fractional KP-KdV hierarchies

Boris Khesin, Ilya Zakharevich|ArXiv.org|Nov 21, 1993

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、円周上の任意の実数または複素数の次数の擬微分記号の代数に、対数的中央拡大を用いた一般化されたバージローザ代数を経由して、ポアソン＝リー群構造を構成する。任意の実数 α に対して、次数 α の記号上に完全可積分な方程式の階層が生じ、α=1 の場合に KP 階層が回復され、整数 α=n>1 の場合に n-KdV 階層が得られる。また、ポアソン構造は整数順位の微分作用素上に制限されると、アドラー＝ゲルファンド＝ディックイの構造と一致する。

ABSTRACT

The Lie algebra of pseudodifferential symbols on the circle has a nontrivial central extension (by the ``logarithmic'' 2-cocycle) generalizing the Virasoro algebra. The corresponding extended subalgebra of integral operators generates the Lie group of classical symbols of all real (or complex) degrees. It turns out that this group has a natural Poisson-Lie structure whose restriction to differential operators of an arbitrary integer order coincides with the second Adler-Gelfand-Dickey structure. Moreover, for any real (or complex) αthere exists a hierarchy of completely integrable equations on the degree αpseudodifferential symbols, and this hierarchy for α=1 coincides with the KP one, and for an integer α=n>1$ and purely differential symbol gives the n-KdV-hierarchy.

研究の動機と目的

• 円周上の擬微分記号のリー代数に、対数的 2-コサイクルを用いた非自明な中心拡大を施し、バージローザ代数を一般化すること。
• 実数または複素数の次数の記号の拡張されたリー群に自然なポアソン＝リー群構造を構成すること。
• ポアソン構造が整数順位の微分作用素の部分多様体に制限されるとき、アドラー＝ゲルファンド＝ディックイの構造と一致することを示すこと。
• 任意の実数（または複素数）の次数 α に対して、擬微分記号上に完全可積分な方程式の階層を定義し、解析すること。
• α=1 の場合に KP 方程式に対応し、整数 α=n>1 の場合に純粋な微分作用素に制限した際に n-KdV 階層に還元されることを示すこと。

提案手法

• 円周上の擬微分記号のリー代数に、対数的 2-コサイクルによる非自明な中心拡大を用いる。
• 整数順位の作用素の部分代数から、すべての実数または複素数の次数の古典的記号のリー群を構成する。
• この群に、リー群の乗法と整合する自然なポアソン＝リー構造を導入する。
• ポアソン構造を整数順位の微分作用素の部分多様体に制限し、アドラー＝ゲルファンド＝ディックイの構造と一致することを示す。
• ポアソン＝リー枠組みを用いて、次数 α の擬微分記号上に発展方程式の階層を導入する。
• 無限個の保存量とラクス対表現の存在を示すことにより、階層の可積分性を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の実数または複素数の次数の擬微分記号の設定において、バージローザ代数はどのように一般化可能か？
• RQ2 非整数次数の擬微分記号の群に、自然なポアソン＝リー群構造は何か？
• RQ3 全記号群上のポアソン構造は、整数順位の微分作用素の部分多様体にどのように制限されるか？
• RQ4 任意の実数または複素数の α に対して、次数 α の擬微分記号上に定義される可積分階層の形態は何か？
• RQ5 α=1 の階層と整数 α=n>1 の階層は、それぞれ KP 方程式および n-KdV 方程式とどのように関係するか？

主な発見

• 円周上の擬微分記号のリー代数は、対数的 2-コサイクルによる非自明な中心拡大を許容し、バージローザ代数を一般化する。
• 整数順位の作用素の拡張部分代数は、すべての実数または複素数の次数の古典的記号のリー群を生成する。
• この群は、整数順位の微分作用素に制限した場合にアドラー＝ゲルファンド＝ディックイのポアソン構造と一致する自然なポアソン＝リー構造を有する。
• 任意の実数または複素数の α に対して、次数 α の擬微分記号上に完全可積分な方程式の階層が定義される。
• α=1 の階層は正確に KP 方程式に対応し、整数 α=n>1 の場合に純粋な微分作用素に制限すると n-KdV 階層に還元される。
• 本構成は、単一の擬微分記号上のポアソン＝リー群構造を用いて、分数次と整数次の KP-KdV 階層を統一的に扱うフレームワークを提供する。