[論文レビュー] Poisson limit of an inhomogeneous nearly critical INAR(1) model

László Györfi, Márton Ispány+2 more|ArXiv.org|Mar 26, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、一般のインムイグレーション仮定の下で、自己回帰係数が1にゆっくり近づく非定常かつほぼ臨界的な INAR(1) プロセスの弱収束を、ポアソン分布または複合ポアソン分布に確立する。主な結果は、時変遷移確率およびインムイグレーションモーメントに関する適切な正則性条件の下で、極限分布が複合ポアソンであることを示しており、非定常的かつほぼ不安定な設定への古典的ブランチング過程の極限定理を拡張する。

ABSTRACT

An inhomogeneous first--order integer--valued autoregressive (INAR(1)) process is investigated, where the autoregressive type coefficient slowly converges to one. It is shown that the process converges weakly to a Poisson or a compound Poisson distribution.

研究の動機と目的

• 自己回帰係数が1に近づく非定常 INAR(1) プロセスの漸近的挙動を分析すること。
• ギャルトン＝ワトソン過程の古典的ポアソン極限定理を、時変インムイグレーションを伴う非定常的かつほぼ不安定なモデルへ拡張すること。
• インムイグレーション分布の一般の階乗モーメント（ベルヌーイ分布やポアソン分布に限定されない）が、極限分布の性質に与える影響を特定すること。
• 極限分布が複合ポアソンであるための条件を確立し、非定常的または安定な INAR(1) モデルに関する先行研究を一般化すること。

提案手法

• スチューベルとヴァン・ハーンのテイニング作用素を用いて、インムイグレーションを伴う時非定常ギャルトン＝ワトソン分岐過程としてプロセスをモデル化する。
• 漸近的に1に近づく $\varrho_n \to 1$ を満たす時変ベルヌーイ個体分布を用いて遷移確率を定義し、ほぼ臨界性をモデル化する。
• 階乗モーメント母関数および母関数展開を用いて、プロセスの特性関数を分析する。
• 重み付き遷移確率の和の漸近的挙動を制御するため、トーペリッツ型の補題を適用する。
• 階乗モーメントの収束を確立し、母関数近似を用いて、弱収束が複合ポアソン分布に至ることを証明する。
• 一様可積分性およびモーメント条件を証明し、分布収束を保証する。無限積および指数的バウンディングに関する技術的補題を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常的かつほぼ臨界的な INAR(1) プロセスが、どのような条件下でポアソンまたは複合ポアソン分布に弱収束するか。
• RQ2 時変遷移確率 $\varrho_n \to 1$ がプロセスの極限分布にどのように影響を与えるか。
• RQ3 インムイグレーション分布の階乗モーメントが、極限分布の性質を決定づける役割を果たすか。
• RQ4 ベルヌーイ分布やポアソン分布に限定されない、より一般的な整数値をとるインムイグレーション分布へ、極限定理を拡張できるか。
• RQ5 生成関数アプローチのための必要な極限に至る重み付き遷移確率の和の収束を保証する技術的条件は何か。

主な発見

• インムイグレーションの階乗モーメントが有限で、自己回帰係数 $\varrho_n \to 1$ がゆっくり近づく場合、プロセスは弱収束して複合ポアソン分布に至る。
• インムイグレーションがポアソン分布に従う場合、インムイグレーション平均 $m_{n,1}$ が適切な正規化条件を満たすと、極限分布はポアソン分布である。
• インムイグレーション分布に高階の階乗モーメントがある場合、極限分布は複合ポアソンである。この複合構造は、時非定常的テイニング機構に起因する。
• 収束は、積 $\prod_{\ell=j+1}^n \varrho_\ell$ の漸近的挙動および $1 - \varrho_j$ の $n \to \infty$ における減衰に依存しており、これによりトーペリッツ条件が満たされる。
• 証明により、すべての $k \in \mathbb{N}$ に対して $\sum_{j=1}^n a^{(k)}_{n,j} \to \frac{1}{k}$ が成り立つことが示され、これは生成関数の収束が複合ポアソン形式に至る上で不可欠である。
• 非定常的かつほぼ不安定なダイナミクスおよびより一般的なインムイグレーションを許容することで、非定常 INAR(1) モデルに関する先行研究を一般化した。