[論文レビュー] Poisson Process Partition Calculus with applications to Exchangeable models and Bayesian Nonparametrics

Lancelot F. James|ArXiv.org|May 9, 2002

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 76被引用数 97

ひとこと要約

本稿は、交換可能な確率測度の事後分布およびモーメントの公式を導出するため、ポアソン過程における分割に基づくフビニ積分の理論を導入する。特に、中国レストラン過程や2パラメータのポアソン-ディリクレ過程を拡張する。指数的測度変換技術と混合表現を用いて、ベイズ非パラメトリック推論の統一的枠組みを提供し、ディリクレ過程および一般化されたガンマ過程の新たな特徴付けを導出し、マーカフ＝クレイン対応を一般化する。

ABSTRACT

This article discusses the usage of a partiton based Fubini calculus for Poisson processes. The approach is an amplification of Bayesian techniques developed in Lo and Weng for gamma/Dirichlet processes. Applications to models are considered which all fall within an inhomogeneous spatial extension of the size biased framework used in Perman, Pitman and Yor. Among some of the results; an explicit partition based calculus is then developed for such models, which also includes a series of important exponential change of measure formula. These results are applied to obtain results for Levy-Cox models, identities related to the two-parameter Poisson-Dirichlet process and other processes, generalisations of the Markov-Krein correspondence, calculus for extended Neutral to the Right processes, among other things.

研究の動機と目的

• 非定常ポアソン過程における体系的な分割に基づくフビニ積分の理論を構築し、交換可能な確率測度における事後推論を簡略化すること。
• ブラックウェル＝マククイーンのウーム方式および中国レストラン過程を空間的かつ非定常な設定に一般化すること。
• サイズバイアス化および正規化された確率測度、特に2パラメータのポアソン-ディリクレ過程およびディリクレ過程に対する明示的な事後分布およびモーメントの公式を導出すること。
• ブラウン運動のエクスカージョン理論におけるスケーリング操作を用いて、ディリクレ過程の線形汎関数に対するマーカフ＝クレイン対応を統一的かつ拡張すること。
• 空間的かつ非定常な枠組みにおいて、拡張された右に中立な（NTR）過程の定義と解析を行い、新たな計算的および理論的結果を可能にすること。

提案手法

• ラプラース関数数変換と分割に基づくフビニ表現を用い、事後計算を整数分割の和に再定式化する。
• ピットマン、ペルマン、ヨル（1992）のサイズバイアス化フレームワークの非定常空間的拡張にこの枠組みを適用し、一般のレヴィ＝コックス移動平均モデルの解析を可能にする。
• ポアソン過程の強度測度を含む混合表現を用いて、2パラメータのポアソン-ディリクレ分布のEPPF（エイウン・サンプリング公式）の明示的表現を導出する。
• ブラウン運動のエクスカージョン理論からのスケーリング操作を導入し、確率測度の新たな混合表現および事後特徴付けを生成する。
• この手法を用いて、正規化された過程およびポアソン＝キングマンモデルの事後分布を導出し、分割構造が与えられたとき、一意な値が条件付き独立に分布することを示す。
• 指数的測度変換技術を用いて、空間的レヴィ＝コックス過程およびショットノイズ過程におけるもともとは取り扱いにくい計算を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割に基づくフビニ積分の理論は、空間的かつ非定常な設定における交換可能な確率測度の明示的事後分布を導出するためにどのように利用可能か？
• RQ2 ブラウン運動のエクスカージョン理論におけるスケーリング操作の、確率測度の事後特徴付けに与える構造的影響は何か？
• RQ3 ディリクレ過程の線形汎関数に対するマーカフ＝クレイン対応は、どのようにポアソン過程の分割に基づく積分理論を用いて一般化可能か？
• RQ4 空間的枠組みにおける拡張された右に中立な（NTR）過程の事後モーメントの公式および特徴付けは何か？
• RQ5 ポアソン過程の技術を用いて、中国レストラン過程は一般の強度率混合モデルおよびショットノイズ過程を体系的に拡張可能か？

主な発見

• 非定常ポアソン過程モデルにおける明示的な分割に基づく積分理論が開発され、2パラメータのポアソン-ディリクレ分布のEPPFに対する閉形式の表現が得られた。
• 本稿では、PD(α,θ)過程の事後分布に対する新たな混合表現が導出され、分割が与えられたとき、一意な値が事前分布のもとで条件付き独立かつ同一分布に従うことが示された。
• 一般の指数的測度変換公式が導出され、空間的レヴィ＝コックス移動平均モデルおよびショットノイズ過程の解析が簡略化された。
• 正規化された過程の事後分布が分割ごとに因数分解され、各クラスタの値が重み付き尤度更新に従って条件付き分布することを示した。
• この手法により、拡張されたNTR過程の事後分布の透明な導出が可能となり、標準的なベータまたはディリクレ過程に対する絶対連続性の結果も得られた。
• この枠組みにより、線形汎関数の同時ラプラース関数数およびコーシー＝シュチルチェス変換に関する新たな恒等式が得られ、マーカフ＝モーメント問題が無限次元測度へと拡張された。