[論文レビュー] Poisson Reduction of Controlled Hamiltonian System by Controllability Distribution

Tudor S. Raţiu, Hong Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、可動性分布を用いて、外部力および制御入力を有する制御ハミルトニアン（CH）系のための新しいポアソン還元枠組みを導入する。これは、古典的ポアソン還元を外部力および制御を含む系へと拡張したものであり、ポアソン還元可能性の条件を確立し、CH同値性に関して不変であることを証明するとともに、対称的CH系における特異的ポアソン還元定理を構築し、G-不変分布による還元と、還元空間上での還元との関係を明らかにする。

ABSTRACT

In this paper, we first study the Poisson reductions of controlled Hamiltonian (CH) system and symmetric CH system by controllability distributions. These reductions are the extension of Poisson reductions by distribution for Poisson manifolds to that for phase spaces of CH systems with external force and control. We give Poisson reducible conditions of CH system by controllability distribution, and prove that the Poisson reducible property for CH systems leaves invariant under the CH-equivalence. Moreover, we study the Poisson reduction of symmetric CH system by G-invariant controllability distribution. Next, we consider the singular Poisson reduction and SPR-CH-equivalence for CH system with symmetry, and prove the singular Poisson reduction theorem of CH system. We also study the relationship between Poisson reduction for singular Poisson reducible CH systems by G-invariant controllability distribution and that for associated reduced CH system by reduced controllability distribution. At last, some examples are given to state the theoretical results.

研究の動機と目的

• ポアソン多様体から制御ハミルトニアン（CH）系の位相空間へ、ポアソン還元理論を外部力および制御入力を有する系へと拡張すること。
• CH系が可動性分布を介してポアソン還元可能であるための必要十分条件を同定すること。
• ポアソン還元可能性の性質がCH同値性に関して不変であることを証明し、同値な系間での構造的一致性を保証すること。
• G-不変可動性分布を有する対称的CH系のための特異的ポアソン還元理論を構築すること。
• G-不変分布による特異的CH系のポアソン還元と、その関連還元CH系における誘導還元分布による還元との関係を明確にすること。

提案手法

• 制御部分集合 $W \subset T^*Q$ に制限された、余接バンドル $TT^*Q|_W$ 上の一般化された分布を用いる。
• 還元プロセスを定義するための主要な幾何的構造として、可動性分布 $D \subset TT^*Q|_W$ の概念を適用する。
• ポアソン多様体に適応されたマーラン・ラティュの還元枠組みを用い、制御系を含むように拡張する。
• 還元性質が系の同値性のもとでも保たれるようにするため、SPR-CH同値性（特異的ポアソン還元-CH同値性）の概念を導入する。
• 元のCH系の特異的ポアソン還元と、その関連還元系における還元可動性分布を用いた還元との間の対応関係を確立する。
• 具体的な例（群の対称性を有する系を含む）に理論を適用し、理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御ハミルトニアン系が可動性分布を介していつポアソン還元可能となるか。
• RQ2 提案された還元枠組みにおいて、CH同値性がポアソン還元可能性の性質をどのように保つのか。
• RQ3 G-不変可動性分布を有する対称的CH系における特異的ポアソン還元の構造はいかなるものか。
• RQ4 特異的CH系とその関連還元系との間で、還元可動性分布を介してポアソン還元がどのように関係するか。
• RQ5 運動量マップが存在しない系（標準的シンプレクティック還元やシンプレクティック還元が失敗する系）に対しても、提案された還元枠組みを適用可能か。

主な発見

• 本稿は、可動性分布を用いたCH系のためのポアソン還元可能条件の集合を確立し、古典的ポアソン還元を制御系へと一般化する。
• ポアソン還元可能性がCH同値性に関して不変であることを証明し、同値な制御系間での還元構造の堅牢性を保証する。
• G-不変可動性分布を有する対称的CH系のための特異的ポアソン還元定理を証明し、特異的かつ非正則な状況へも還元を拡張する。
• 元のCH系のポアソン還元と、その関連還元系の還元との間の関係を厳密に特徴づけ、両還元プロセスの整合性を示す。
• 理論的結果は、宇宙船に内蔵されたローター、水中のローターを有する車両などの機械的制御系に適用可能な例を通じて検証されている。
• 運動量マップが存在しない場合に、運動量マップに基づく還元の代替手段として本枠組みが有効であることが示され、制御系における幾何的還元の適用範囲が拡張される。