[論文レビュー] Poisson-Sigma-Models: A Generalization of 2-D Gravity Yang-Mills-Systems

P. Schaller, Thomas Strobl|ArXiv.org|Nov 22, 1994

Geomagnetism and Paleomagnetism Studies被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、2次元トポロジカル場理論の一般クラスであるポアソン-σ模型を導入する。これは、2次元重力、ヤン・ミルズ理論、およびG/Gゲージ化されたウェッズ＝ズミノ＝ウィッテン模型を統一する。ポアソンテンソルを用いて作用を定式化し、カシミール＝ダルブーシュ座標を用いることで、可積分な力学が得られ、量子化はシンプレクティック葉上の有限次元量子系に結びつく。経路積分解析により、巻き数の量子化に起因する整数シンプレクティック葉への制限が明らかになる。

ABSTRACT

A new class of two dimensional integrable field theories, based on the mathematical notion of Poisson manifolds, and containing gravity-Yang-Mills systems as well as the G/G gauged Wess-Zumino Witten-model, are presented. The local solutions of the classical equations of motions as well as a scheme for the quantization in a Hamiltonian formulation is presented for the general model. Partial results of a calculation of the partition function on arbitrary Riemann surfaces via path integral techniques are given. (Contribution to the proceedings of the Conference on Integrable Systems at the JINR, Dubna, July 1994).

研究の動機と目的

• 2次元重力やヤン・ミルズ系を含む多様な2次元場理論の背後にある共通の数学的構造を特定すること。
• ターゲット空間としてのポアソン多様体を用いて、これらの理論を一つの枠組みに一般化すること。
• 得られたポアソン-σ模型の可積分性を確立し、それらの古典的および量子的解を導出すること。
• 円筒上のハミルトニアン量子化スキームを構築し、任意の世界面トポロジーに拡張すること。
• 経路積分技法を用いて、任意の genus のリーマン面における分配関数を計算し、シンプレクティック葉における量子化条件を明らかにすること。

提案手法

• モデルは、ターゲット多様体 $ N $ 上のポアソンテンソル $ P^{ij}(X) $ を用いて定式化され、作用 $ L_{top} = \int_M A_i \wedge dX^i + \frac{1}{2} P^{ij} A_i \wedge A_j $ で与えられる。ここで $ A $ は1形式ゲージ場である。
• 作用から古典的運動方程式が導かれ、ポアソン構造の積分可能な部分多様体としてシンプレクティック葉が定義される制約が得られる。
• カシミール＝ダルブーシュ座標 $ \{X^I, X^\alpha\} $ において、ポアソンテンソルは $ P^{IJ} = P^{I\alpha} = 0 $ かつ $ P^{\alpha\beta} = \text{const} $ とブロック対角化され、解析が簡略化される。
• ハミルトニアン形式による量子化が行われ、ヒルベルト空間はシンプレクティック葉上の量子状態空間と同型であり、波動関数はシンプレクティックポテンシャルの指数関数で与えられる。
• genus-$ g $ リーマン面上での経路積分量子化では、ゲージ固定により関数的積分がシンプレクティック葉への写像のホモトピー類の和に還元され、巻き数が $ \mathbb{Z} $ 上で量子化される。
• 分配関数は、$ \beta $-場の統合から生じる $ \delta $-関数により、整数シンプレクティック葉に制限され、$ \sum_{n_j \in \mathbb{Z}} \exp i \sum_j n_j \int_{\rho_j} \Omega $ と表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元重力、ヤン・ミルズ、G/G WZW模型を特殊ケースとして含む統一的場理論枠組みを構築できるか？
• RQ2 ターゲット空間におけるポアソン多様体構造が、得られる2次元場理論の可積分性と量子化をどのように規定するか？
• RQ3 ハミルトニアン量子化におけるポアソン-σ模型のヒルベルト空間と波動関数の構造は何か？
• RQ4 任意の genus のリーマン面上での経路積分が、シンプレクティック葉における量子化条件をどのように導くか？
• RQ5 カシミール関数とシンプレクティック葉は、分配関数のグローバル構造においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• ポアソン構造が可積分であるという仮定の下で、ポアソン-σ模型の古典的運動方程式は可積分であり、局所解はシンプレクティック葉によって決定される。
• ポアソン-σ模型のヒルベルト空間には、ターゲットポアソン多様体のシンプレクティック葉上で定義された可量子化可能な量子力学的系に対応する量子状態がちょうど1つ存在する。
• この模型の波動関数は、シンプレクティックポテンシャルの指数関数 $ \exp i \int d^{-1}\Omega $ で与えられ、シンプレクティック葉上での量子系の作用に対応する。
• genus-$ g $ の世界面における経路積分量子化により、分配関数はシンプレクティック葉への写像のホモトピー類の和として得られ、巻き数は $ \mathbb{Z} $ 上で量子化される。
• 分配関数は、$ \beta $-場の統合から生じる $ \delta $-関数により、整数シンプレクティック葉に制限され、$ \int_{\rho_j} \Omega \in \mathbb{Z} $ を強制する。
• ゴースト寄与からの測度 $ \mu $ は未定義のまま残り、完全な経路積分計算における未解決問題を示している。