[論文レビュー] Poisson stable solutions for stochastic differential equations with Lévy noise

Xin Liu, Zhenxin Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、大規模なジャンプを伴う無限次元の Lévy ノイズによって駆動される半線形確率微分方程式に対して、周期的、ほぼ周期的、Levitan ほぼ周期的など、Poisson 安定解（Poisson 安定な解）の存在およびグローバル漸近安定性を確立している。ドリフト、拡散、ジャンプ係数にリプシッツ連続性および線形成長条件を課した下で、著者らは解が係数の Poisson 安定性を引き継ぎ、二乗平均の意味でグローバルに収束することを証明している。

ABSTRACT

In this paper, we use a unified framework to study Poisson stable (including stationary, periodic, quasi-periodic, almost periodic, almost automorphic, Birkhoff recurrent, almost recurrent in the sense of Bebutov, Levitan almost periodic, pseudo-periodic, pseudo-recurrent and Poisson stable) solutions for semilinear stochastic differential equations driven by infinite dimensional Lévy noise with large jumps. Under suitable conditions on drift, diffusion and jump coefficients, we prove that there exist solutions which inherit the Poisson stability of coefficients. Further we show that these solutions are globally asymptotically stable in square-mean sense. Finally, we illustrate our theoretical results by several examples.

研究の動機と目的

• 無限次元の Lévy ノイズを伴う確率微分方程式に対して、周期的、ほぼ周期的、ほぼ自己同型的、Levitan ほぼ周期的を含む Poisson 安定解の存在を確立すること。
• 係数に再発性が見られる場合に、Lévy ノイズの大きなジャンプが解の Poisson 安定性を破壊するかどうかを調査すること。
• 解の Poisson 安定性が、係数のうち最も弱い再発性の性質によって決定されることを証明すること。
• これらの Poisson 安定解が二乗平均の意味でグローバル漸近安定であることを示すこと。
• ガウスノイズ駆動の SDE に関する既存の結果を、大ジャンプを含むより一般的な Lévy ノイズのケースに拡張すること。

提案手法

• 動的システムにおける再発性を分析するための B. A. Shcherbakov の同等（強く同等）な方法に基づく統一的枠組みを用いる。
• Lévy-Itô 分解を適用して、Lévy 確率過程を拡散成分、小ジャンプ成分、大ジャンプ成分に分離する。
• ドリフト、拡散、ジャンプ係数にリプシッツ連続性およびグローバル線形成長条件を課し、パスごとの存在と一意性を保証する。
• 半群理論とヒルベルト空間における確率解析を用いて、Lévy ノイズによって駆動される抽象的時間発展方程式を分析する。
• 安定性を定義するのに二乗平均ノルムを用い、適切な関数空間上で縮小写像の議論を適用して存在と一意性を証明する。
• 確率的設定における再発性を特徴付けるために、分布的 Poisson 安定性の概念を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元の Lévy ノイズを伴う半線形 SDE に対して、Poisson 安定解が存在する条件は何か？
• RQ2 Lévy ノイズに大きなジャンプが存在する中で、係数の Poisson 安定性（例：周期性、ほぼ周期性）が解に継承可能か？
• RQ3 係数の再発性の性質と、それによって生じる解の再発行動との関係は何か？
• RQ4 Poisson 安定解は二乗平均の意味でグローバル漸近安定か？
• RQ5 係数のうち最も弱い再発性の性質が、解の再発性のタイプをどのように決定するか？

主な発見

• 適切なリプシッツ連続性および線形成長条件の下で、解は分布的に係数の Poisson 安定性を一意に継承する有界解が存在する。
• 解は定理 5.1 で示されるように、二乗平均の意味でグローバル漸近安定である。
• 例 6.1 において、Lévy ノイズを伴う確率的常微分方程式は、$\nu(-1,1) < \frac{25}{16}$ かつ $b \leq 1$ のとき、分布的に一意な Levitan ほぼ周期的解を有する。
• 例 6.2 において、Lévy ノイズを伴う確率的熱方程式は、一意な $\mathcal{L}^2$-有界解をもち、分布的に Levitan ほぼ周期的であり、二乗平均の意味でグローバル漸近安定である。
• 解の再発性のタイプは、$f$, $g$, $F$, $G$ の係数のうち、最も弱い再発性の性質によって決定され、これはコロナリー 4.7 で形式化されている。
• すべての $\mathcal{L}^2$ 初期値を有する解は、十分に長い時間後には有界のままである。これはコロナリー 5.2 に述べられている。