[論文レビュー] Poisson structure on moduli of flat connections on Riemann surfaces and $r$-matrix

V. V. Fock, A. A. Rosly|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 1998

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 48

ひとこと要約

本稿は、ciliated fatグラフと格子ゲージ理論を用いて、境界を持つリーマン面の平坦G-バンドルのモジュライ空間にポアソン構造を確立する。グラフ接続の空間にポアソン＝リ構造を構成し、ゲージ群作用による商をとることでモジュライ空間が回復され、R-行列形式と整合する自然なポアソン構造が得られ、WZNWの conformal block を用いた量子化のための枠組みが提供される。

ABSTRACT

We consider the space of graph connections (lattice gauge fields) which can be endowed with a Poisson structure in terms of a ciliated fat graph. (A ciliated fat graph is a graph with a fixed linear order of ends of edges at each vertex.) Our aim is however to study the Poisson structure on the moduli space of locally flat vector bundles on a Riemann surface with holes (i.e. with boundary). It is shown that this moduli space can be obtained as a quotient of the space of graph connections by the Poisson action of a lattice gauge group endowed with a Poisson-Lie structure. The present paper contains as a part an updated version of a 1992 preprint ITEP-72-92 which we decided still deserves publishing. We have removed some obsolete inessential remarks and added some newer ones.

研究の動機と目的

• 境界付きリーマン面上の平坦G-バンドルのモジュライ空間を、グラフ接続を用いて有限次元的かつ計算可能な形で記述すること。
• ゲージ群上のポアソン＝リ構造と整合する、グラフ接続の空間へのポアソン構造を定義すること。
• ゲージ変換によるグラフ接続の商が、適切に定義されたポアソン構造を持つ平坦接続のモジュライ空間を回復することを示すこと。
• ポアソン構造と古典的r-行列との関係を確立し、WZNW理論による量子化を可能にする。
• 先行研究に基づき、現代の応用に適合した幾何学的・代数的枠組みを提供すること。

提案手法

• 穴あきリーマン面を、頂点に隣接辺の巡回的順序を持つciliated fatグラフとして表現し、面が境界に対応する。
• グラフ接続を有向辺に群の元を割り当てるものとして定義し、G^Eと微分同相な有限次元多様体をなす。
• 特にgl(k)の古典的r-行列と辺端に作用する生成子を用いて、グラフ接続の空間へのポアソン2次形式をr-行列形式により定義する。
• ゲージ群にポアソン＝リ構造を構成し、その作用がグラフ接続の空間上でポアソン的であるようにする。これにより、モジュライ空間への簡約が可能になる。
• ゲージ不変性を用いて、部分多様体（例えば対角行列A）上で消える項を加えることでポアソン2次形式を変更し、ゲージ不変関数上の括弧を保存する。
• 正準変数（例：λ_i と s_i）間の明示的ポアソン括弧を導出し、Ruijsenaarsのハミルトニアンと一致することを確認し、可積分系と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きリーマン面上の平坦G-バンドルのモジュライ空間は、どのように有限次元的グラフ接続の言語で記述できるか？
• RQ2 ゲージ群上のポアソン＝リ構造に関してポアソン的であるような、グラフ接続の空間に生じるポアソン構造は何か？
• RQ3 商空間（すなわちモジュライ空間）に得られるポアソン構造は、古典的r-行列形式とどのように関係するか？
• RQ4 対角ゲージ選択を尊重するように修正された2次形式を用いて、ゲージ不変関数間のポアソン括弧を明示的に計算できるか？
• RQ5 構築されたポアソン構造は、Ruijsenaars-Schneiderモデルと一致するハミルトニアン系を導くか？

主な発見

• 穴あきリーマン面上の平坦G-バンドルのモジュライ空間は、平坦グラフ接続の空間をゲージ群作用で割ったものと同型である。
• グラフ接続の空間には、gl(k)の古典的r-行列から誘導されるポアソン構造が存在し、辺端に作用する生成子を含む明示的2次形式で表現できる。
• ゲージ群はポアソン＝リ群として作用し、その作用のモーメントマップは μ(A,B) = ABA⁻¹B⁻¹ で与えられる。
• ゲージ不変関数間のポアソン括弧は、対角ゲージ選択における部分多様体上で保存されるように修正された2次形式を用いて計算可能であり、計算を簡略化できる。
• 正準変数 λ_i と s_i は {λ_i, s_j} = λ_i s_j δ_ij および {s_i, s_j} = 0 を満たし、ハミルトニアン H = ∑(s_i + s_i⁻¹) × 積因子 が得られ、これはRuijsenaarsのハミルトニアンと一致する。
• ポアソン2次形式の行列式は明示的に det B = x^{n(n-1)/2} ∏_i q_i ∏_{i≠j} (λ_i - λ_j)/(xλ_i - λ_j) と計算され、単位元近傍で非退化であることが確認される。