[論文レビュー] Poisson structures and generalized Kahler structures

Ryushi Goto|ArXiv.org|Dec 17, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、非自明なポアソン構造を持つコンパクトなカーラー多様体の正則ポアソン部分多様体が、ポアソンテンソルによって誘導される一般化複素構造の変形を通じて一般化ケーラー構造を引き継ぐことを確立する。主な結果は、双リーマン構造の非障害的変形であり、無限小変形はクラス $[\beta \cdot \omega] \in H^{0,1}(X, T^{1,0})$ に従う。障害クラス $[\beta \cdot \omega, \beta \cdot \omega] = 0$ の消失を証明する。この構成により、ポアソン幾何学からの非自明な一般化ケーラー部分多様体の例が得られる。

ABSTRACT

Let X be a compact Kahler manifold with a non-trivial holomorphic Poisson structure. Then there exist deformations of non-trivial generalized Kahler structures with one pure spinor on X. We prove that every Poisson submanifold of X is a generalized Kahler submanifold with respect to the deformed generalized Kahler structures and provide non-trivial examples of generalized Kahler submanifolds arising as holomorphic Poisson submanifolds. We also obtain unobstructed deformations of bi-Hermitian structures constructed from Poisson structures.

研究の動機と目的

• コンパクトなカーラー多様体に正則ポアソン構造を持つ場合の、ポアソン部分多様体と一般化ケーラー部分多様体の間の対応関係を確立すること。
• ポアソンテンソルによって誘導される一般化ケーラー構造の変形が非障害的であることを証明すること。
• 双リーマン構造の無限小変形がクラス $[\beta \cdot \omega] \in H^{0,1}(X, T^{1,0})$ から生じることを示すこと。
• 正則ポアソン部分多様体を用いた非自明な一般化ケーラー部分多様体の例を構成すること、例えば $\mathbb{C}P^3$ 内の次数 $d \leq 3$ の超曲面。

提案手法

• コンパクトなカーラー多様体上での正則ポアソンテンソル $\beta$ の作用により、一般化複素構造 $\{\mathcal{J}_{\beta t}\}$ の変形が構成される。
• 安定性定理 [12] を用いて、1つの純粋スピン形式 $\{\mathcal{J}_{\beta t}, \psi_t\}$ を持つ一般化ケーラー構造が得られる。これはホッジおよびリーマン分解に依存する。
• ポアソン部分多様体 $M$ の余接バンドル $N^*$ が $\mathcal{J}_{\beta t}$-不変であることが示され、これにより $M$ が一般化ケーラー構造を引き継ぐことが保証される。
• 一般化ケーラー構造とねじれ付き双リーマン構造の間の対応関係が用いられ、変形が複素構造 $I^+(t)$ および $I^-(t)$ の無限小変形に翻訳される。
• 変形の無限小接ベクトルは $Z_i^\pm(t) = Z_i \pm \overline{\beta} \cdot \overline{\theta}^i t \mod t^2$ として計算され、クラス $\sqrt{-1}[\beta \cdot \omega] \in H^{0,1}(X, T^{1,0})$ が得られる。
• シュータン括弧を用いた障害理論が適用され、$H^{0,2}(X, T^{1,0})$ 内で $[\beta \cdot \omega, \beta \cdot \omega]$ の消失により、双リーマン構造の変形が非障害的であることが証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な正則ポアソン構造を持つコンパクトカーラー多様体のポアソン部分多様体は、一般化ケーラー構造を引き継ぐことができるか？
• RQ2 ポアソンテンソルによって誘導される一般化ケーラー構造の変形は非障害的か？
• RQ3 関連する双リーマン構造の無限小変形クラスは何か？
• RQ4 ポアソン誘導一般化ケーラー変形の下で、複素構造 $I^+(t)$ および $I^-(t)$ はどのように変形するか？
• RQ5 $H^{0,2}(X, T^{1,0})$ 内で障害クラス $[\beta \cdot \omega, \beta \cdot \omega]$ が消失するための条件は何か？

主な発見

• 非自明な正則ポアソン構造 $\beta$ を持つコンパクトカーラー多様体 $X$ の任意のポアソン部分多様体 $M$ は、十分小さい $t$ に対して一般化ケーラー構造 $({\cal J}_{\beta t, M}, \psi_{t,M})$ を引き継ぐ。
• $i_M^*\psi$ は $M$ 上で $d$-閉かつ非退化で、純粋スピン形式であるため、誘導された構造が1つの純粋スピン形式を持つ一般化ケーラー構造であることが保証される。
• 双リーマン構造 $\{I^+(t), I^-(t), h_t\}$ の無限小変形は、$H^{0,1}(X, T^{1,0})$ 内のクラス $\sqrt{-1}[\beta \cdot \omega]$ および $-\sqrt{-1}[\beta \cdot \omega]$ で与えられる。
• 障害クラス $[\beta \cdot \omega, \beta \cdot \omega]$ は $H^{0,2}(X, T^{1,0})$ 内で消失し、双リーマン構造の変形が非障害的であることが証明される。
• 非自明な一般化ケーラー部分多様体の例は、$\mathbb{C}P^3$ 内の次数 $d \leq 3$ の超曲面として得られる。これらはポアソン部分多様体である。
• 多様体 $X = M \times \mathbb{C}P^1$ で $M$ が複素トーラスの場合、障害が消失するための必要十分条件は、正則ベクトル場に付随する行列 $P$ のランクが $\leq 1$ であることである。